a) Để chứng minh CM PQ = PN + NQ, ta sẽ sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông.

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến Mx và Ny. Ta có tam giác AMP và tam giác ANQ là tam giác vuông tại M và N.

Theo định lí Pitago, ta có:

AM^2 = AP^2 + PM^2

AN^2 = AQ^2 + NQ^2

Vì tam giác AMP và tam giác ANQ là tam giác vuông, nên ta có:

AP = AM - PM

AQ = AN - NQ

Thay vào các công thức trên, ta có:

AM^2 = (AM - PM)^2 + PM^2

AN^2 = (AN - NQ)^2 + NQ^2

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:

AM^2 = AM^2 - 2AM*PM + PM^2 + PM^2

AN^2 = AN^2 - 2AN*NQ + NQ^2 + NQ^2

Simplifying, we have:

2AM*PM = 2AN*NQ

Chia cả hai vế cho 2, ta có:

AM*PM = AN*NQ

Vì AM = AN (vì là đường kính của nửa đường tròn), nên ta có:

PM = NQ

Do đó, ta có:

PQ = PM + NQ

Vậy, CM PQ = PN + NQ đã được chứng minh.

b) Để chứng minh CM góc PIO = 90 độ, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tiếp tuyến chung.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có:

Góc PIO = Góc PIM + Góc MIO

Vì PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M, nên góc PIM = 90 độ.

Vì Mx và Ny là tiếp tuyến chung, nên góc MIO = góc NIO.

Vậy, góc PIO = 90 độ đã được chứng minh.

c) Để chứng minh CM MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc chóp đồng quy.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có:

Góc MON = Góc MOP + Góc NOP

Vì MN là tiếp tuyến của đường tròn tại M, nên góc MOP = 90 độ.

Vì Mx và Ny là tiếp tuyến chung, nên góc NOP = góc NMO.

Vậy, góc MON = 90 độ.

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ đã được chứng minh.

a) Xét (O) có 

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

BN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: OB là tia phân giác của \(\widehat{NOI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{BOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{NOI}\)

Xét (O) có 

AI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{IOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{AOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{IOM}\)

Ta có: \(\widehat{IOB}+\widehat{IOA}=\widehat{BOA}\)(tia OI nằm giữa hai tia OA và OB)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{ION}+\widehat{IOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0\)

hay \(\widehat{AOB}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{AOB}=90^0\)

a: Xét (O) có

CE,CA là các tiếp tuyến

nên CE=CA và OC là phân giác của góc AOE(1)

Xét (O) có

DE,DB là các tiếp tuyến

nên DE=DB vàOD là phân giác của góc BOE(2)

CD=CE+ED

=>CD=CA+BD

b: Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: AC*BD=CE*ED=OE^2=R^2=36cm

a: Xét (O) có

OM là bán kính

EF vuông góc OM tại M

Do đó: EF là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

EM.EA là tiếp tuyến

nên EM=EA
Xét(O) có

FM,FB là tiếp tuyến

nên FM=FB

EF=EM+MF

=>EF=EA+FB