Xét tam giác ABC nhọn có \(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos\widehat{A}\)
\(\Rightarrow\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{4\cdot\dfrac{1}{2}AB\cdot AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{4S_{ABC}}\)

Cmtt: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\widehat{B}=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{4S_{ABC}}\\\cos\widehat{C}=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{4S_{ABC}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}\\ =\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2+AB^2+BC^2-AC^2+AC^2+BC^2-AB^2}{4S_{ABC}}\\ =\dfrac{AB^2+AC^2+BC62}{4S_{ABC}}\)

Để chứng minh rằng SABC = AB.AC.căn 3/4 và BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB.AC, ta có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng EF = BC/2 và SBCEF = 3SAEF, ta cũng có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng IM = 2IN và MFI = 30°, ta có thể sử dụng các định lý về tia phân giác và góc trong tam giác.

Tuy nhiên, để có thể chứng minh chính xác các phần trên, cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

Để chứng minh rằng SABC = AB.AC.căn 3/4 và BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB.AC, ta có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng EF = BC/2 và SBCEF = 3SAEF, ta cũng có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng IM = 2IN và MFI = 30°, ta có thể sử dụng các định lý về tia phân giác và góc trong tam giác.

Tuy nhiên, để có thể chứng minh chính xác các phần trên, cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

1:\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sin\widehat{BAC}\)

\(=AB\cdot AC\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=AB\cdot AC\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(AB^2+AC^2-BC^2=2\cdot AB\cdot AC\cdot cos60=AB\cdot AC\)

=>\(BC^2=AB^2+AC^2-AB\cdot AC\)

2:

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc EAB chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AF=AB/AC

góc EAF chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>EF/BC=AE/AB=cos60=1/2 và \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>EF=BC/2 và \(S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}\)

=>\(S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\left(S_{AEF}+S_{BFEC}\right)\)

=>\(\dfrac{3}{4}\cdot S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{BFEC}\)

=>\(S_{BFEC}=3\cdot S_{AFE}\)

Đây là định lý hàm cos!

- Kẻ đường cao AH xuống BC

⇒CH=AC.cosC

Áp dụng định lí Pitago ta có:

AB²=AH²+BH²=AC²−CH²+(BC−CH)²

=AC²−CH²+BC²−2BC.CH+CH²

=AC²+BC²−2BC.CH

=AC²+BC²−2AC.BC.cosC (Điều phải chứng minh)

đây là định lý cosin lớp 10

a² = b²+c² - 2bccosa

b² = a²+c² - 2accosb

c² = a²+b² -2abcosc