cho x y z thuộc R thoa mãn xy+yz+zx=5 tính gtnn của biểu thức 3x^2+3y^2+3z^2
Những câu hỏi liên quan
cho x y z thuộc R thoa mãn xy+yz+zx=5 tính gtnn của biểu thức 3x^2+3y^2+3z^2
Cho x,y,z thuộc R thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x^2 + 3y^2 + z^2
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy + yz + zx = 5.
Tìm GTNN của biểu thức: \(T=3x^2+3y^2+z^2\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Đúng 1
Bình luận (2)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx \(\ge\)5 . Tìm GTNN của biểu thức:
\(A=\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}+\frac{y^2}{\sqrt{8y^2+3z^2+14yz}}+\frac{z^2}{\sqrt{8z^2+3x^2+14zx}}\)
\(5\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\ge\sqrt{15}\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}=\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+2xy+3y^2+12xy}}\ge\frac{x^2}{\sqrt{9x^2+12xy+4y^2}}=\frac{x^2}{3x+2y}\)
\(A\ge sigma\frac{x^2}{3x+2y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{5}\ge\sqrt{\frac{3}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x^2 + 3y^2 +z^2
ta có \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) và \(yz+xz=z\left(x+y\right)\le\frac{z^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow5=xy+yz+xz\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{z^2+\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}z^2\)
Xét \(3x^2+3y^2+z^2\ge\frac{3}{2}\left(x+y\right)^2+z^2=2\left(\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}z^2\right)\ge2\cdot5=10\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\z=x+y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\pm1\\z=\pm2\end{cases}}}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Cho x,y,z>o thỏa mãn xy+yz+zx=20. Tìm GTNN của
\(\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+20\right)}+\sqrt{6\left(y^2+20\right)}+\sqrt{z^2+20}}\)
Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
\(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\frac{x\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{y}{9y^3+3z^2+x}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{y}{3}+xy}{\left(x+y+z\right)^2}\)(2); \(\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{z}{3}+yz}{\left(x+y+z\right)^2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\)\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(*)
Mặt khác, có: \(2017\left(xy+yz+zx\right)\le2017.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{2017}{3}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\le1+\frac{2017}{3}=\frac{2020}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)