Cho phương trình: x² - (2m - 1)x - m = 0       

Co \(\Delta=\left(-\left(2m-1\right)\right)^2-4.1.\left(-m\right)=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1>0\)

Vi \(\Delta>0\) nen PT luon co ngiem phan biet voi moi gia tri cua m

a: \(\text{Δ}=\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=\left(m+1\right)^2>=0\)

=>(5) luôn có nghiệm

b: \(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-\left(x_1\cdot x_2\right)^2=2m+1\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-\left(x_1\cdot x_2\right)^2=2m+1\)

=>\(\left(m-1\right)^2-4\cdot\left(-m\right)-\left(-m\right)^2=2m+1\)

=>\(m^2-2m+1+4m-m^2=2m+1\)

=>2m+1=2m+1(luôn đúng)

a) đenta phẩy=m^2-m^2+1>0

=>.........................

Ta có x₁x₂ = -1

=> x₁ = -\(\frac{1}{x_2}\)

=> x₁ - x₂ = x₁ + \(\frac{1}{x_1}\)

x₁ > 0 thì

x₁ + \(\frac{1}{x_1}\) >= 2\(\sqrt{x_1\frac{1}{x_1}}\)= 2

x₁ < 0 thì

x₁ + \(\frac{1}{x_1}\) <= -2\(\sqrt{x_1\frac{1}{x_1}}\)= -2

Vậy: |x₁-x₂| >= 2

Trước khi làm hình như phải cm pt có nghiệm?

( a = 1, b = -m, c = -1)

\(\Delta=b^2-4ac\)

   \(=\left(-m\right)^2-4.1.\left(-1\right)\)

    \(=m^2+4>0\forall m\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

đenta = m^2 +4 >= 4 >0 với mọi m

=> pt luôn có 2 ng x(1) ; x(2)

theo hệ thức Vi-Et có ; x1 + x2 =m và x1 x2 =-1  (1)

Ta có : |x1 -x2|>=2  <=>  (x1 -x2 ) ^2  >=4  <=> x1 ^2 -2x1 x2 + x2 ^2  .=4 <=>  (x1 +x2)^2 -4x1 x2 >=4    (2)

thay (2) vào (1) có :  m^2 +4 >=4 

vì m^2 >=0 Vmọi m =>  m^2 + 4 >=4 Vmọi m hay |x1 -x2 | >= 2 Vmọi m ==>> dpcm  :)

Lời giải:

Vì \(\Delta=(m+1)^2-4m=(m-1)^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có nghiệm với mọi $m$

Bây giờ phản chứng, giả sử pt có thể có hai nghiệm dương $x_1,x_2$.

Theo định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-(m+1)\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Khi $x_1,x_2>0$ thì \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-(m+1)>0\\ x_1x_2=m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<-1\\ m>0\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó pt không thể có hai nghiệm dương với mọi $m$

Chọn C

Cho phương trình: X² - (2m⁴+1)x + m² + m - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m=1 khi đó lập một phương trình nhận t₁ = x₁ + x₂ và t₂ = x₁ x₂ làm nghiệm.

b. Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.

c. Tìm m sao cho:

    A=(2x₁ - x₂)(2x₂ - x₁) đạt GTNN, thín GTNN đó (giá trị nhỏ nhất). 

chịu @_@

a) thay m=1 vào lập denta giải pt ra đc x1=(3+căn5)/2;x2=(3-căn5)/2

t1=x1+x2=(3+căn5)/2+(3-căn5)/2=3

t2=x1*x2=(3+căn5)/2*(3-căn5)/2=1

=>t1+t2=4;t1*t2=3

=>t1;t2 là nghiệm của pt

T^2-4T+3=0

b) đenta=(2m+1)^2-4(m^2+m-1)=5>0

=>pt luôn luôn có nghiệm với mọi m

c) A=(2x1-x2)(2x2-x1)=5x1x2-2x1^2-2x2^2=5x1x2-2(x1^2+x2^2)=5x1x2-2(x1+x2)^2+4x1x2=9x1x2-2(x1+x2)^2

=9(m^2+m-1)-2(2m+1)^2=9m^2+9m-9-4m-2=9m^2+5m-11>=-421/36 khi x=-5/18