a: a^3-a=a(a^2-1)

=a(a-1)(a+1)

Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp

nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6

=>a^3-a chia hết cho 6

khá là khó

Bài này lớp 6 mà bạn

Đặt c₁=a₁-b₁, ... , c₅=a₅-b₅.

Có c₁+ c₂ + ...+ c₅

= (a₁-b₁)+(a₂-b₂)+...+(a₅-b₅)

= (a₁+a₂+...+a₅)-(b₁+b₂+...+b₅)

=0 (vì b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ là hoán vị của a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)

=> Trong 5 số c₁,...,c₅ có một số chẵn vì từ c₁ đến c₅ có 5 số

=> Trong các số a₁-b₁,...,a₂-b₂ có một số chẵn

Vậy ... (đpcm)

lớp 6 con mịe mày

\(P=a^7b^3-a^3b^7\)

\(P=a^3b^3\left(a^4-b^4\right)\)

\(P=a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(P\) chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM \(5|P\).  Kí hiệu \(\left(a;b\right)\) là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu \(a\equiv b\left(mod5\right)\) cũng coi như hoàn tất. \(a+b\equiv0\left(mod5\right)\) cũng như thế.

 Do đó ta loại đi được các trường hợp \(\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;2\right),\left(3;3\right),\left(4;4\right)\) và \(\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)\) và \(\left(0;1\right),\left(0;2\right),\left(0;3\right),\left(0;4\right),\left(1;0\right),\left(2;0\right),\left(3;0\right),\left(4;0\right)\)

 Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là \(\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right)\) và các hoán vị. Nếu \(\left(a;b\right)\equiv\left(1;2\right)\left(mod5\right)\) thì \(a^2+b^2=\left(5k+1\right)^2+\left(5l+2\right)^2=25k^2+10k+1+25l^2+20l+4=5P+5⋮5\)

Các trường hợp còn lại xét tương tự \(\Rightarrow5|P\).

b) CM \(6|P\). Ta thấy \(a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) luôn là số chẵn (nếu \(a\equiv b\left(mod2\right)\) thì \(2|a-b\), còn nếu \(a\ne b\left(mod2\right)\) thì \(2|a^3b^3\).

 Đồng thời, cũng dễ thấy \(3|P\) vì nếu \(a\) hay \(b\) chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu \(a\equiv b\left(mod3\right)\) cũng xong. Còn nếu \(a+b\equiv0\left(mod3\right)\) thì cũng hoàn tất.

 Suy ra \(6|P\)

 Từ đó suy ra \(30|P\)

P=a7b3−a3b7

�=�3�3(�4−�4)P=a3b3(a4−b4)

�=�3�3(�−�)(�+�)(�2+�2)P=a3b3(a−b)(a+b)(a2+b2)

Ta sẽ chứng minh $P$ chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM $5|P$.  Kí hiệu $\left(a;b\right)$ là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu $a\equiv b\left(mod5\right)$ cũng coi như hoàn tất. $a+b\equiv 0\left(mod5\right)$ cũng như thế.

 Do đó ta loại đi được các trường hợp $\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;2\right),\left(3;3\right),\left(4;4\right)$ và $\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)$ và $\left(0;1\right),\left(0;2\right),\left(0;3\right),\left(0;4\right),\left(1;0\right),\left(2;0\right),\left(3;0\right),\left(4;0\right)$

 Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là $\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right)$ và các hoán vị. Nếu $\left(a;b\right)\equiv \left(1;2\right)\left(mod5\right)$ thì �2+�2=(5�+1)2+(5�+2)2=25�2+10�+1+25�2+20�+4=5�+5⋮5a2+b2=(5k+1)2+(5l+2)2=25k2+10k+1+25l2+20l+4=5P+5⋮5

Các trường hợp còn lại xét tương tự $\Rightarrow 5|P$.

b) CM $6|P$. Ta thấy �3�3(�−�)(�+�)a3b3(a−b)(a+b) luôn là số chẵn (nếu $a\equiv b\left(mod2\right)$ thì $2|a-b$, còn nếu $a\ne b\left(mod2\right)$ thì 2∣�3�32∣a3b3.

 Đồng thời, cũng dễ thấy $3|P$ vì nếu $a$ hay $b$ chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu $a\equiv b\left(mod3\right)$ cũng xong. Còn nếu $a+b\equiv 0\left(mod3\right)$ thì cũng hoàn tất.

 Suy ra $6|P$

 Từ đó suy ra $30|P$

VP `=(a+b)(a^2-ab+b^2)`

`=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3`

`=a^3+b^3`

.

VP `=(a-b)(a^2+ab+b^2)`

`=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3`

`=a^3-b^3`

đúng rồi mà

Ta có: \(a^3+b^3\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Ta có: \(a^3-b^3\)

\(=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2+3ab\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Bài 3: 

a: =>4n-2-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

b: =>-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

BN THAM KHẢO:

thx ban

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 1²