\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2mx-my=m^2+5m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\\left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\\left(m+1\right)x=\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Pt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m\ne-1\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x^2-y^2=4\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-\left(m-3\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow8m=12\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=3\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=3m\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2y-4y=3m-6\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(m^2-4\right)=3m-6\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3m-6}{m^2-4}\\mx=6-4y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}=\dfrac{3}{m+2}\\mx=6-4\cdot\dfrac{3}{m+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{m+2}\\mx=6-\dfrac{12}{m+2}=\dfrac{6\left(m+2\right)-12}{m+2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{m+2}\\mx=\dfrac{6m+12-12}{m+2}=\dfrac{6m}{m+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6m}{m+2}:m=\dfrac{6m}{m+2}\cdot\dfrac{1}{m}=\dfrac{6}{m+2}\\y=\dfrac{3}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có nghiệm x>1 và y>0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{m+2}>1\\\dfrac{3}{m+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{m+2}-1>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{m+2}-\dfrac{m+2}{m+2}>0\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6-m-2}{m+2}>0\\m>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-m>0\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m>-4\\m>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< m< 4\)

Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm x>1 và y>0 thì -2<m<4

a) Thay m=2 vào hệ phương trình, ta được: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\2x-y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=3\\x-2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=5+2y=5+2\cdot\left(-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(3;-1)

Bài 1:

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{2x-2}\\v=\dfrac{1}{y-1}\end{matrix}\right.\) (ĐK: \(x,y\ne1\))  

Hệ trở thành:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-v=2\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u-3v=6\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-v=5\\u-v=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=2+-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=-3\end{matrix}\right.\)

Trả lại ẩn của hệ pt:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y-1}=-5\\\dfrac{1}{2x-2}=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=-\dfrac{1}{5}\\2x-2=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{4}{5}\\x=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow x^3-y^3=6\left(x^2-y^2\right)-m\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m=0\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=y\Rightarrow x^3=8x^2-mx\Leftrightarrow x\left(x^2-8x+m\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-8x+m=0\end{matrix}\right.\)

Do đó hệ luôn luôn có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\) với mọi m

Để hệ chỉ có 1 nghiệm thì \(x^2-8x+m=0\) vô nghiệm \(\Rightarrow m>16\)

Khi đó, xét pt \(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m=0\) (1)

Ta có:

\(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m>\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+16=\dfrac{3}{4}\left(x+y-4\right)^2+4>0\)

\(\Rightarrow\) (1) vô nghiệm hay hệ có đúng 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)

Vậy \(m>16\) thì hệ có 1 nghiệm

em tham khảo câu e cuối ấy , đó là câu a của e á:

1. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=3m\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(m^2-4\right)y=3\left(m-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)y=3\left(m-2\right)\)

Để pt có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)\ne0\Rightarrow m\ne\pm2\)

Để pt vô nghiệm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(m+2\right)=0\\3\left(m-2\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-2\)

2. Không thấy m nào ở hệ?

3. Bạn tự giải câu a

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}6x+2my=2m\\\left(m^2-m\right)x+2my=m^2-m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\frac{\left(m-1\right)\left(1-x\right)}{2}\\\left(m^2-m-6\right)x=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

Để hệ có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow m^2-m-6\ne0\Rightarrow m\ne\left\{-2;3\right\}\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{m^2-3m}{m^2-m-6}=\frac{m}{m+2}\\y=\frac{\left(m-1\right)\left(1-x\right)}{2}=\frac{m-1}{m+2}\end{matrix}\right.\)

\(x+y^2=1\Leftrightarrow\frac{m}{m+2}+\frac{\left(m-1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow m\left(m+2\right)+\left(m-1\right)^2=\left(m+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m-3=0\Rightarrow\) bấm máy, số xấu

4.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=2m^2\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1=\left(2m+1\right)\left(m-1\right)\\y=2m-mx\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=1\) hệ có vô số nghiệm

- Với \(m=-1\) hệ vô nghiệm

- Với \(m\ne\pm1\) hệ có nghiệm duy nhất:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\left(2m+1\right)\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{2m+1}{m+1}\\y=2m-mx=\frac{m}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m-1}{2}\ne\dfrac{-m}{-1}=m\)

=>\(m-1\ne2m\)

=>\(m\ne-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2x-y=m+5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\y=2x-m-5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\\left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\\left(m-1\right)x-2xm+m^2+5m=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\left(m-1-2m\right)=-m^2-5m+3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\left(-m-1\right)=-m^2-2m-1=-\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\cdot\left(-1\right)\cdot\left(m+1\right)=-\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=2\left(m+1\right)-m-5=2m+2-m-5=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x^2-y^2=24\)

=>\(\left(m+1\right)^2-\left(m-3\right)^2=24\)

=>\(m^2+2m+1-m^2+6m-9=24\)

=>8m-8=24

=>m=4(nhận)