CMR: Phương trình x5+x+1=0 có nghiệm duy nhất là:
x = \(\frac{1}{3}\)( 1 - \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}\) - \(\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\))
chứng minh x5+x+1=0 có nghiệm duy nhất là
x= \(\frac{1}{3}\)(\(1-\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)
Ta có: \(x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1\)
\(=x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)\)
Lại có: \(x^5+x+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3-x^2+1=0\) (vì \(x^2+x+1>0\))
Đặt \(m=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)
\(\Rightarrow m^3=25+3\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}.\frac{25-\sqrt{621}}{2}}.m\)
\(m^3=25+3m\) (1)
\(n=\frac{1}{3}\left(1-m\right)\Leftrightarrow m=1-3n\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\left(1-n\right)^3=25+\left(1-3n\right)\)
\(\Leftrightarrow1-9n+27n^2-27n^3=25+3-9n\)
\(\Leftrightarrow27n^3-27n^2+27=0\)
\(\Leftrightarrow n^3-n^2+1=0\)
Vậy \(x=n\) là nghiệm của phương trình \(x^3-x^2+1=0\)
\(\Rightarrow x=n\) cũng là nghiệm của phương trình \(x^5+x+1=0\)
* Nếu \(x>n\) thì \(x^5+x+1>n^5+n+1=0\)
\(\Rightarrow\) Với mọi x > n ko là nghiệm của phương trình.
* Nếu \(x< n\) thì \(x^5+x+1< n^5+n+1=0\)
\(\Rightarrow\) Với mọi x < n ko là nghiệm của phương trình.
(Chúc bạn học giỏi và tíck cho mìk vs nhoa!)
Chứng minh rằng phương trình \(x^5+x+1\) có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{1}{3}\left(1-\sqrt[3]{\dfrac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)\)
cho \(a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}\)
\(b=\dfrac{1}{3}\left(1-\sqrt[3]{\dfrac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)\)
tính \(A=a^3+b^3-b^2-3a+100\)
Lời giải:
Đặt \(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}=m\)
Khi đó \(a=\frac{1}{m}+m\Rightarrow a^3-3a=\frac{1}{m^3}+\frac{3}{m}+3m+m^3-3(\frac{1}{m}+m)\)
\(=\frac{1}{m^3}+m^3=\frac{1}{4-\sqrt{15}}+4-\sqrt{15}=4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}=8(*)\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}=n; \sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}=p\)
\(\Rightarrow n^3+p^3=25; np=\sqrt[3]{\frac{25^2-621}{4}}=1\)
\(\Rightarrow (n+p)^3=n^3+p^3+3np(n+p)=25+3(n+p)\)
Do đó:
\(b^3-b^2=\frac{1}{27}(1-n-p)^3-\frac{1}{9}(1-n-p)^2\)
\(=\frac{1}{27}[1-3(n+p)+3(n+p)^2-(n+p)^3]-\frac{1}{9}[1-2(n+p)+(n+p)^2]\)
\(=\frac{-2}{27}+\frac{n+p}{9}-\frac{(n+p)^3}{27}\)
\(=\frac{-2}{27}+\frac{n+p}{9}-\frac{25+3(n+p)}{27}=-1(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow a^3+b^3-b^2-3a+100=8+(-1)+100=107\)
CMR:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}< 1\)
\(U\left(n\right)=\frac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
\(U\left(n\right)=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n.\left(n+1\right)^2-n^2\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+1-n\right)}\)
\(U\left(n\right)=\frac{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n}\sqrt{n+1}\right)^2}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(S_{u\left(n\right)}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{25}}=1-\frac{1}{5}< 1\)
Giải các phương trình sau
a) \(25\sqrt{\frac{a-3}{25}}-7\sqrt{\frac{4a-12}{9}}-7\sqrt{a^2-9}+18\sqrt{\frac{9a^2-81}{81}}=0\)
b)\(\sqrt{18x+9}-\sqrt{8x+4}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4\)
a, ĐK :a >= 3
\(25\sqrt{\frac{a-3}{25}}-7\sqrt{\frac{4a-12}{9}}-7\sqrt{a^2-9}+18\sqrt{\frac{9a^2-81}{81}}=0\)
\(\Leftrightarrow5\sqrt{a-3}-\frac{14}{3}\sqrt{a-3}-7\sqrt{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}+6\sqrt{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a-3}\left(5-\frac{14}{3}-\sqrt{a+3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{a-3}=0\\\sqrt{a+3}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3\left(tm\right)\\a=-\frac{2}{9}\left(loai\right)\end{cases}}\)
b, \(ĐK:x\ge-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{2x+1}-2\sqrt{2x+1}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{3}\sqrt{2x+1}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}=3\)
\(\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)
a) đk: \(a\ge3\)
pt \(\Leftrightarrow25\frac{\sqrt{a-3}}{\sqrt{25}}-7\frac{\sqrt{4\left(a-3\right)}}{\sqrt{9}}-7\sqrt{a^2-9}+18\frac{\sqrt{9\left(a^2-9\right)}}{\sqrt{81}}=0\)
\(\Leftrightarrow5\sqrt{a-3}-\frac{7.2}{3}\sqrt{a-3}-7\sqrt{a^2-9}+\frac{18.3}{9}\sqrt{a^2-9}=0\)
\(\Leftrightarrow5\sqrt{a-3}-\frac{14}{3}\sqrt{a-3}-7\sqrt{a^2-9}+6\sqrt{a^2-9}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\sqrt{a-3}-\sqrt{a^2-9}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\sqrt{a-3}=\sqrt{a^2-9}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(a-3\right)=a^2-9\)
\(\Leftrightarrow a^2-\frac{1}{9}a-\frac{26}{3}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3\left(tm\right)\\a=-\frac{26}{9}\left(loại\right)\end{cases}}\)
Cho A=\(\frac{\sqrt{\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}-1}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{\sqrt{3}-1}}\)Hỏi A có phải là nghiệm của phương trình: \(\left(x^4+x+2\right)\left(x+2-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{30}}{\sqrt{2}-\sqrt{10}}\right)=0\)
A không phải là nghiệm
Vì theo mk tính thì A= \(\sqrt{3}\)- \(\sqrt{2}\)
mà nghiệm của phương trình mk tìm đc là \(\sqrt{3}\)- 2
=> A không phải là nghiệm của phương trình trên.
\(A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+...+\frac{\sqrt{25}+\sqrt{24}}{25+24}\)
CMR A<0,4
1. Tính
\(A=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}\)
\(B=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cdot\sqrt{6}\)
\(C=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
2. Cho hệ x + ay =1 ; ax+y=2
a/ Giải khi a=2
b/ Tìm a để hệ có 1 nghiệm duy nhất
3. \(N=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)
a. Rút gọn N
b. Chứng minh 0<N<2
CMR
\(\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+........+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+.......+\sqrt{n}< n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+.........+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}< \frac{2}{5}\)