Question

CMR: Phương trình x⁵+x+1=0 có nghiệm duy nhất là:

x = \(\frac{1}{3}\)( 1 - \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}\) - \(\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\))

Answer 1

ta có \(3x=1-\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \(1-3x=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \(\left(1-3x\right)^3=\left(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)^3\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=\frac{25+\sqrt{621}}{2}+\frac{25-\sqrt{621}}{2}+3\left(\frac{25+\sqrt{621}}{2}\cdot\frac{25-\sqrt{621}}{2}\right)\left(1-3x\right)\)( vì  \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}=1-3x\)....phía trên 2 dòng )

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3\cdot1\cdot\left(1-3x\right)\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3-9x\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=28-9x\)

<=> \(27x^3-27x^2+27=0\)

<=.\(27\left(x^3-x^2+1\right)=0\)

<=. \(x^3-x^2+1=0\)

pt \(x^3-x^2+1=0\) và pt \(x^5+x+1=0\) đều có nghiệm chung 

vậy đccm

Answer 2

Bài của phan tuấn anh nên bổ sung

\(x^5+x+1=\left(x^3-x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x^3-x^2+1\right)\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

Answer 3

mk cũng định thêm chỗ đó rùi nhưng vội quá nên kết luận luôn