C6. Cho các số thực dương thoả mãn: ab+1 nhỏ hơn hoặc bằng b Chứng minh rằng : ( a + (1/a^2) ) + ( b^2 + (1/b) ) lớn hơn hoặc bằng 9
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (vì a+b+c=1) (đpcm)
Cách khác dùng AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)(đpcm)
cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1 chứng minh rằng 1/a +1/b +1/c lớn hơn hoặc bằng 9
cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1 chứng minh rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)lớn hơn hoặc bằng 9
Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Theo đề bài ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
Cho ba số dương 0 nhỏ hơn hoăc bằng a nhỏ hơn hoăc bằng b nhỏ hơn hoặc bằng c nhỏ hơn hoặc bằng 1.Chứng minh rằng
a/bc+1 +b/ac+1 + c/ab+1 nhỏ hơn hoăc bằng 2
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
BT1: So sánh hai phân số a-1/a và b+1/b với a và b là các số nguyên cùng dấu
BT2 : Tính A= 2x/3y + 3y/4z + 4z/5t + 5t/2x với các phân số đã liệt kê bằng nhau
BT3 : Cho A = 1/2.3/4. ... .99/100 Chứng minh 1/15 < A < 1/10
BT4 : Tìm các số nguyên dương a b c d thỏa 2 bé hơn hoặc bằng a bé hơn hoặc bằng b bé hơn hoặc bằng c bé hơn hoặc bằng d và (1/2-1/a)+(1/2-1/b)+(1/2-1/c) = 1/2-1/d
BT5 : Tìm số nguyên T lớn nhất không vượt quá 2/ 1/2016+3/2017+5/2018+...+43/2039
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=6
CM: a, 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 3/2
b, a^2/c + b^2/a + c^2/b lớn hơn hoặc bằng 6
a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
b) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=6\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
