\(A=x^3+y^3+z^3+kxyz\)

Thực hiện phép chia ta được

\(A=\left(x^3+y^3+z^3+kxyz\right)\div\left(x+y+z\right)\)

\(A=\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-yz\left(k+2\right)\right]-yz\left(x+z\right)\left(k+3\right)\)

Để phép chia hết thì: \(yz\left(x+z\right)\left(k+3\right)=0\)

Suy ra:
Suy ra: \(k=3\)

k = -3

Xin lỗi đáp án là âm 3, mình biết bị thíu

Lời giải:
Ta sử dụng các công thức hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(A=x^3+y^3+z^3+kxyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3+kxyz\)

\(=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)+kxyz\)

\(=(x+y+z)^3-3(x+y)z^2-3(x+y)^2z-3xy(x+y)+kxyz\)

\(=(x+y+z)^3-3(x+y)z(z+x+y)-3xy(x+y+z)+(k+3)xyz\)

\(=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+(k+3)xyz\)

\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+(k+3)xyz\)

Vậy để \(A\vdots x+y+z\) thì \((k+3)xyz\vdots x+y+z, \forall x,y,z\)

Điều này xảy ra chỉ khi \(k+3=0\Leftrightarrow k=-3\)

2/ Ta phân tích

ax³ + bx² + c = (x + 2)[a​x² + (b - 2a)x - 2(b - 2a)] + c + 4(b - 2a) = (x² - 1)(ax + b) + ax + b + c

Từ đó kết hợp với đề bài ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}c+4\left(b-2a\right)=0\\a=1\\b+c=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}}\)

Ta có A = (x + y)³ + z³ + kxyz - 3xy(x + y)

= (x + y + z)[(x + y)² - (x + y)z + z²] + xy(kz - 3x - 3y)

Nhìn vào cái này ta dễ thấy là để A chia hết cho x + y + z thì k = - 3

( x + y + z)³ - x³ - y³ - z³=x³+y³+z³+3(a+b)(a+c)(b+c)- x³ - y³ - z³

                                              = 3(a+b)(b+c)(a+c)

\(\left(x+y-z\right)^3-x^3-y^3+z^3\)

\(=\left[\left(x+y\right)-z\right]^3-x^3-y^3+z^3\)

\(=\left(x+y\right)^3-z^3-3\left(x+y\right)z\left(x+y-z\right)-x^3-y^3+z^3\)

\(=x^3+y^3-z^3+3xy\left(x+y\right)-3\left(x+y\right)z\left(x+y-z\right)-x^3-y^3+z^3\)

\(=3xy\left(x+y\right)-3z\left(x+y\right)\left(x+y-z\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left[xy-z\left(x+y-z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(xy-zx-yz+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y-z\right)-z\left(y-z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\)

#\(Urushi\text{☕}\)

Áp dụng (a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b), ta có:

(x+y+z)3-x3-y3-z3

=[(x+y)+z]3-x3-y3-z3

=(x+y)3+z3+3z(x+y)(x+y+z)-x3-y3-z3

=x3+y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z)-x3-y3-z3

=3(x+y)(xy+xz+yz+z2)

=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]

=3(x+y)(y+z)(x+z)

=(x+y-z-x)[(x+y-z)^2+x(x+y-z)+x^2]-(y-z)(y^2+yz+z^2)

=(y-z)(x^2+y^2+z^2+2xy-2xz-2yz+x^2+xy-xz+x^2-y^2-yz-z^2)

=(y-z)(3x^2+3xy-3xz-3yz)

=3(y-z)(x^2+xy-xz-yz)

=3(y-z)[x(x+y)-z(x+y)]

=3(y-z)(x+y)(x-z)

Ta có: ( x - y) z³ + ( y - z ) x³ + ( z - x ) y³  

= ( x - y ) z³ + ( y - z )x³ + ( z - y)y³ + ( y - x ) y³

= ( x - y ) ( z³ - y³ ) + ( y - z ) ( x³ - y³) 

= ( x - y ) ( z - y ) ( z² + zy + y² ) + ( y - z ) ( x - y) ( x² + xy + y² ) 

= ( x - y ) ( y - z ) ( x² + xy + y² - z² - zy - y²) 

= ( x - y ) ( y - z ) [ ( x² - z²) + ( xy - zy) ]

= ( x - y ) ( y - z ) [ ( x - z ) ( x + z ) + y ( x - z ) ]

= ( x - y ) ( y - z ) ( x - z ) ( x + y + z ) 

(x - y).z³ + (y - z).x³ + (z - x).y³

= z³(x - y) + x³y - x³z + y³z - xy³

= z³(x - y) + xy(x² - y²) - z(x³ - y³)

= z³(x - y) + xy(x - y)(x + y) - z(x - y)(x² + xy + y²)

= (x - y)(z³ + x²y + xy² - x²z - xyz - y²z)

= (x - y)[z(z² - x²) + xy(x - z) + y²(x - z)]

= (x - y)[z(z - x)(z  + x) - xy(z- x) - y²(z - x)]

= (x - y)(z - x)(z² + xz - xy - y²)

= (x - y)(z - x)[(y - z)(y + z) - x(y - z)]

= (x  - y)(z - x)(y - z)(y + z - x)