Ta có \(\sqrt{1+a}\le\frac{a\:+1+1}{2}=\frac{a+2}{2}\)

Tương tự \(\sqrt{1+b}\le\frac{b+2}{2}\)

\(\sqrt{1+C}\le\frac{c+2}{2}\)

Từ đó ta có \(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\)<= \(\frac{a+b+c+6}{2}=\frac{7}{2}\)= 3,5

Bạn alibaba nguyễn hình như đọc không kĩ đề thì phải, ở đây ng ta bảo chứng minh bé hơn đâu phải bé hơn hoặc bằng đâu mà bạn dừng lại ở đó không giải tiếp ? ĐOạn sau các bạn làm như này nhé :

Dấu "=" xảy ra <=>  \(\hept{\begin{cases}a+1=1\\b+1=1\\c+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\end{cases}}}\)(Vô lý)
vậy dấu "=" không xảy ra => \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)

\(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\)

\(\Rightarrow A^2\le\left(1+1+1\right)\left(\sqrt{a+1}^2+\sqrt{b+1}^2+\sqrt{c+1}^2\right)\left(bunhiacopxki\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+1+b+1+c+1\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le3\left(a+b+c+3\right)=3.4=12\Rightarrow A\le\sqrt{12}< 3,5\left(dpcm\right)\)

bài này hay đấy

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có :

\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}.\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}.\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}}=3\)

Chứng minh \(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le3+a+b+c\)( 1 )

đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)( x,y,z \(\ge\)0 )

do a,b,c là số nguyên 

Nếu a = b = c = 0 thì x = y = z = 0 nên ( 1 ) đúng

Nếu a,b,c không đồng thời bằng 0 \(\Rightarrow\)x+ y + z \(\ge\)1

Ta có : VT ( 1 ) 

\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x\right)\left(1+y\right)-\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)\left(1+z\right)-\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)\left(1+x\right)-\left(1+z\right)x}{1+z}\)

\(=3+x+y+z-\left[\frac{\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)x}{1+x}\right]\)

\(\le3+x+y+z-\frac{\left(1+x\right)y+\left(1+y\right)z+\left(1+z\right)x}{1+x+y+z}=3+x+y+z-\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\)

\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le3+x^2+y^2+z^2\)

Cần chứng minh : \(\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)

Mà \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge1.\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)

suy ra đpcm

1) c/m \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)

áp dụng BĐT cô shi cho 2 số thực dương ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\);\(b+c\ge2\sqrt{bc}\);\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

cộng vế vs vế:\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

↔\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

vậy...

b)ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{25}}\)→\(A>\frac{1}{\sqrt{25}}+\frac{1}{\sqrt{25}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}\)(25 số hạng)

\(A>\frac{25}{\sqrt{25}}=\sqrt{25}=5\)

vậy.....