Vì \(0\le x\le\frac{1}{2}\Rightarrow0\le2x\le1\Rightarrow-1\le-2x\le0\)

\(1-1\le1-2x\le1\Rightarrow0\le x\left(1-2x\right)\le\frac{1}{2}\)

\(0\le M\le\frac{1}{2}\Rightarrow M_{max}=\frac{1}{2}\)

d. Áp dụng BĐT Caushy Schwartz ta có:

\(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le x+y+\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=x+y+\dfrac{4}{x+y}\le1+\dfrac{4}{1}=5\)

-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

c. Bạn kiểm tra lại đề nhé.

b. \(5x\left(2-x\right)=-5x\left(x-2\right)=-5\left(x^2-2x\right)=-5\left(x^2-2x+1-1\right)=-5\left(x-1\right)^2+5\le5\)-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)

a.

\(\left(80-2x\right)\left(50-2x\right)x=\dfrac{2}{3}\left(40-x\right)\left(50-2x\right)3x\le\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{40-x+50-2x+3x}{3}\right)^3=18000\)

Dấu "=" xảy ra khi \(40-x=50-2x=3x\Leftrightarrow x=10\)

b.

\(5x\left(2-x\right)=5.x\left(2-x\right)\le\dfrac{5}{4}\left(x+2-x\right)^2=5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2-x\Rightarrow x=1\)

c.

Biểu thức này chỉ có min, ko có max

d.

\(x+y\le1\Rightarrow-\left(x+y\right)\ge-1\)

\(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-3\left(x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-3.1=5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

2x-x^2=-x^2+2x-1+1=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1\(\le\)1 với mọi x(vì -(x-1)^2\(\le0\) với mọi x). Dấu "=" xảy ra khi -(x-1)^2=0 \(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 1 tại x=1

\(P\left(x\right)=2x-x^2\)

\(=-\left(x^2-2x+1-1\right)\)

\(=-\left(\left(x-1\right)^2-1\right)\)

\(=1-\left(x-1\right)^2\le1\)

GTNL của \(P\left(x\right)=1\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

GTLN là 1 nha

Cho mình hỏi cách làm được k???
 

a: \(M=\dfrac{x^2+2x+1-x^2-3}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{1}{x+1}\)

b: x thuộc {0;0,5}

=>x=0 hoặc x=0,5

Khi x=0 thì M=1/0+1=1

Khi x=0,5 thì M=1/0,5+1=1/1,5=2/3

=>M min=2/3 và M max=1

1 ) \(B=\dfrac{x^2-2x+2011}{x^2}=1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2011}{x^2}\)

Đặt \(\dfrac{1}{x}=a\) , khi đó :

\(B=1-2a+2011a^2\)

\(=2011\left(a^2-2a.\dfrac{1}{2011}+\dfrac{1}{2011^2}\right)+\dfrac{2010}{2011}\)

\(=2011\left(a-\dfrac{1}{2011}\right)^2+\dfrac{2010}{2011}\ge\dfrac{2010}{2011}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2011}\Leftrightarrow x=2011\)

2 ) ĐKXĐ : \(x\ne-1\)\(C=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{3}{x^2+1}\le\dfrac{3}{1}=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)