Gọi 2 số chính phương liên tiếp là \(a^2\) và \(\left(a+1\right)^2\)

Do a, a + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp 

=> Luôn có 1 số chẵn, 1 số lẻ => \(a\left(a+1\right)\) chẵn

Có \(a^2+\left(a+1\right)^2+a^2.\left(a+1\right)^2\)

= \(a^2+\left(a^2+2a+1\right)+a^2\left(a^2+2a+1\right)\)

= \(a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

= \(\left(a^2+a+1\right)^2=\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2\)

=> đpcm

a) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là: \(n,n+1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)=650\)

\(\Rightarrow n^2+n-650=0\)

\(\Rightarrow\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{2601}{4}\)

\(\Rightarrow n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{51}{2}\)

\(\Rightarrow n=25\)

Vậy 2 số đó là 25,26

b: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2

Theo đề, ta có:

\(\left(a^2+a\right)\left(a+2\right)=10626\)

\(\Leftrightarrow a^3+2a^2+a^2+2a-10626=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a-10626=0\)

\(\Leftrightarrow a^3-21a^2+24a^2-504x+506x-10626=0\)

\(\Leftrightarrow a-21=0\)

hay a=21

Vậy: Ba số tự nhiên cần tìm là 21;22;23

Lời giải:

Gọi số hạng đầu tiên là $a$ và công sai $d$. Khi đó số hạng thứ 2 và 3 lần lượt là $a+d, a+2d$

Theo bài ra ta có:

$a+(a+d)+(a+2d)=12$

$\Rightarrow a+d=4$

$a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=60$

$\Leftrightarrow 3a^2+5d^2+6ad=60$

$\Leftrightarrow 3(4-d)^2+5d^2+6(4-d)d=60$

$\Leftrightarrow 2d^2-12=0$

$\Leftrightarrow d=\pm \sqrt{6}$

Nếu $d=\sqrt{6}$ thì $a=4-\sqrt{6}$. Khi đó 3 số cần tìm là $4-\sqrt{6},4, 4+\sqrt{6}$

Nếu $d=-\sqrt{6}$ thì $a=4+\sqrt{6}$. Khi đó 3 số cần tìm là $4+\sqrt{6}, 4, 4-\sqrt{6}$

Ta có a.b.c = a+b+c 
Giả sử a = b = c ta có a^3 = 3a => a^2 = 3. Ptrình này không cho nghiệm nguyên dương, nên a; b; c là 3 số nguyên dương phân biệt. 
Tìm các số nguyên dương: 
Giả sử a là số lớn nhất trong 3 số. Ta có a + b + c = a.b.c < 3a. Hay tích b.c <3. Vì a; b; c là các số nguyên dương; b.c <3. Do b;c nguyên dương nên tích b,c nguyên dương hay b.c = 1 hoặc b.c =2. Mặt khác chứng minh được b khác c nên b và c chỉ có thể là 1 và 2. Ở đây ta giả sử c là 1. thì b là 2. (b khác 2 thì tích b.c > 3 là vô lý). 

Vậy ta có 1 + 2 + a = 1.2.a hay 3+a = 2a => a = 3. 
______________________________________________
li-ke cho mk nhé bn nguyễn thị huyền thương 

Lời giải:

Gọi số hạng đầu tiên là $a$ và công sai $d$. Khi đó số hạng thứ 2 và 3 lần lượt là $a+d, a+2d$

Theo bài ra ta có:

$a+(a+d)+(a+2d)=12$

$\Rightarrow a+d=4$

$a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=66$

$\Leftrightarrow 3a^2+5d^2+6ad=66$

$\Leftrightarrow 3(4-d)^2+5d^2+6(4-d)d=66$

$\Leftrightarrow 2d^2-18=0$

$\Leftrightarrow d=\pm 3$

Nếu $d=3$ thì $a=1$. Khi đó 3 số cần tìm là $1,4, 7$

Nếu $d=-3$ thì $a=7$. Khi đó 3 số cần tìm là $7, 4, 1$

\(S_3=\dfrac{3\left[2u_1+2d\right]}{2}\)

\(\Leftrightarrow2u_1+2d=\dfrac{2S_3}{3}\)

\(\Leftrightarrow2\left(u_1+d\right)=\dfrac{2S_3}{3}\)

\(\Leftrightarrow u_1+d=\dfrac{S_3}{3}=\dfrac{12}{3}=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_2=4\\u_3=7\end{matrix}\right.\)

mà \(u_1^2+u_2^2+u_3^2=1^2+4^2+7^2=66\) (thỏa đề bài)

Vậy 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng là : \(1;4;7\)

Gọi hai số chính phương liên tiếp là \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)

Ta có: \(k^2+\left(k+1\right)^2+k^2\left(k+1\right)^2\)

\(=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2\)

\(=k^4+2k^3+3k^2+2k+1=\left(k^2+k+1\right)^2\)

\(=\left[k\left(k+1\right)+1\right]^2\)là số chính phương lẻ

Vậy tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ ( đpcm )

1/           n³+n+2=(n+1)(n²-n+2)

Xet chẵn lẻ của n  => chia hết cho 2 => hợp số

online math oi, chọn câu trả lời này đi