Áp dụng định lí Pytago ta có

\(DE^2=DF^2+FE^2\\ \Rightarrow DF=\sqrt{15^2-12^2}=9\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔDEF vuông tại D có 

AB/DE=AC/DF

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔDEF

b: \(\dfrac{C_{ABC}}{C_{DEF}}=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{2}{3}\)

\(a,\) Áp dụng Pytago \(EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=25\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}DE^2=EH\cdot EF\\DF^2=FH\cdot EF\\DH^2=FH\cdot EH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EH=\dfrac{DE^2}{EF}=9\left(cm\right)\\FH=\dfrac{DF^2}{EF}=16\left(cm\right)\\DH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\sin\widehat{E}=\cos\widehat{F}=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{4}{5}\approx\left\{{}\begin{matrix}\sin53^0\\\cos37^0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\widehat{E}\approx53^0;\widehat{F}\approx37^0\)

a: ΔDEF vuông tại D

=>\(DE^2+DF^2=EF^2\)

=>\(EF^2=0,9^2+12^2=144,81\)

=>\(EF=\sqrt{144,81}\)(cm)

Xét ΔDEF vuông tại D có \(tanE=\dfrac{DF}{DE}\)

=>\(tanE=\dfrac{12}{0,9}=\dfrac{120}{9}=\dfrac{40}{3}\)

b: Xét ΔDEF vuông tại D có

\(sinF=\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{0.9}{\sqrt{144,81}}\)

\(cosF=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{12}{\sqrt{144,81}}\)

\(tanF=\dfrac{0.9}{12}=\dfrac{9}{120}=\dfrac{3}{40}\)

\(cotF=\dfrac{12}{0.9}=\dfrac{40}{3}\)

Ta có: \(tanDFE=\dfrac{DE}{DF}=0,3\Rightarrow\widehat{DFE}\approx16^o42'\)

  \(\Rightarrow DF=sinDFE.EF=sin16^o42'.15=4,31\left(cm\right)\)

a) Dùng định lí py-ta-gô để chứng minh, ta thấy:
12² + 9² = 15²
Vậy DEF là tam giác vuông. Tam giác này vuông tại E ( do DF là cạnh huyền )
b) Tia IE là tia đối của tia ED => 3 diểm I, E, D thẳng hàng và IE vuông góc với IF
Vậy cạnh cần tìm IF chính là cạnh huyền của tam giác vuông EFI.
Áp dụng định lí Pi-ta-gô, ta có:
IF² = IE² + EF²
IF² = 5² + 12²
IF² = 25 + 144
IF² = 169
IF = 13
Vậy độ dài IF là 13cm.

Vẽ tam giác ta có hình...

Xét ΔDEF vuông ở D , theo định lý Pi-ta-go ta được :

\(\Rightarrow EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

Ta có : DI là phân giác \(\widehat{EDF}\)

\(\Rightarrow\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{DE}{DF}\)

hay \(\dfrac{EI}{IF}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{EI}{3}=\dfrac{IF}{4}=\dfrac{EI+IF}{3+4}=\dfrac{25}{7}\)

\(\Rightarrow EI=\dfrac{25}{7}.3=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow FI=\dfrac{25}{7}.4=\dfrac{100}{7}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔEKF vuông tại K, ta được:

\(EF^2=EK^2+KF^2\)

\(\Leftrightarrow KF^2=20^2-12^2=256\)

hay KF=16(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔFED vuông tại E có EK là đường cao ứng với cạnh huyền FD, ta được:

\(EF^2=FK\cdot FD\)

\(\Leftrightarrow FD=\dfrac{20^2}{16}=\dfrac{400}{16}=25\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔDEF vuông tại E, ta được:

\(FD^2=EF^2+ED^2\)

\(\Leftrightarrow ED^2=25^2-20^2=225\)

hay ED=15(cm)