Gọi tọa độ A ; B lần lượt là A(x₁ ; 0) ; B(0 ; y₁) 

Vì B thuộc (d) => y₁ = (m - 1).0 + 3 = 3 

Ta có khoảng cách từ O đến (d) = \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)

=> PT : \(\left(\frac{1}{\left|x_1\right|}\right)^2+\left(\frac{1}{\left|y_1\right|}\right)^2=\left(\frac{1}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{y_1^2}=\frac{5}{9}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\Leftrightarrow\frac{1}{x_1^2}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow x_1=\frac{3}{2}\)

Với x₁ = 3/2 ; y₁ = 9 => 9 = (m - 1).1,5 + 3 <=> m = 5

Vậy m = 5 thì khoảng cách từ O đến (d) là \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)

Gợi ý :

a) y = 2 => x = 2 hoặc -2 ( do có thể < 0 hay > 0 )

b) S(OAB) = 1 => |x| = 1 => x = 1 hoặc -1

c) Gọi khoảng cách từ O tới (d) là OH

OH bé hơn hoặc bằng khoảng cách 2 của O tới điểm cố định trên Oy

=> max = 2 khi d song^2 Ox => x = 0 => đúng mọi m

d)  Thay vào biểu thức hệ thức lượng => khoảng cách từ O tới điểm mà d cắt trên Ox là 0 => d trùng Oy

e) thay x vào có kết quả

f) cắt tại điểm > 2 => biểu thức biểu diễn x > 2 ( -2/(m+3)   )

PT giao Ox, Oy là: 

\(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2m+1}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2}{2m+1};0\right)\Leftrightarrow OA=\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=-2\Leftrightarrow B\left(0;-2\right)\Leftrightarrow OB=2\)

\(a,\) Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=\sqrt{2}\)

Ap dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow4m^2+4m+1=1\\ \Leftrightarrow4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-1\end{matrix}\right.\)

\(b,S_{AOB}=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow OB\cdot OA=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\cdot2=1\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=4\\2m+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

b: (m-2)x+3=y

=>(m-2)x-y+3=0

\(d\left(O;d\right)=\dfrac{\left|\left(m-2\right)\cdot0+0\cdot\left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}=3\)

=>(m-2)^2+1=9

=>(m-2)^2=8

=>\(m=2\pm2\sqrt{2}\)

c: Tọa độ A là: y=0 và \(x=\dfrac{-3}{m-2}\)

=>OA=3/|m-2|

Tọa độ B là x=0 và y=3

=>OB=3

Để OA=OB thì |m-2|=1

=>m=3 hoặc m=1

a: y=(2m+5)x-3

=>(2m+5)x-y-3=0

\(d\left(O;d\right)=\dfrac{\left|\left(2m+5\right)\cdot0+\left(-1\right)\cdot0-3\right|}{\sqrt{\left(2m+5\right)^2+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{\left(2m+5\right)^2+1}}\)

Để d=3 thì \(\sqrt{\left(2m+5\right)^2+1}=1\)

=>m=-5/2

b: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{3}{2m+5}\end{matrix}\right.\)

=>OA=3/|2m+5|

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-3\end{matrix}\right.\)

=>OB=3

Theo đề, ta có: 1/2*OA*OB=2

=>\(\dfrac{9}{\left|2m+5\right|}\cdot\dfrac{1}{2}=2\)

=>|2m+5|*2=9/2

=>|2m+5|=9/4

=>2m+5=9/4 hoặc 2m+5=-9/4

=>m=-11/8 hoặc m=-29/8