Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương x,y,z ta có:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

bạn ơi giải cách khác đi mình chưa học BĐT cô si

Lời giải;

Vế 1:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$2=(x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$

$x^3+\frac{x}{2}\geq \sqrt{2}x^2$

$y^3+\frac{y}{2}\geq \sqrt{2}y^2$

$\Rightarrow x^3+y^3+\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{2}(x^2+y^2)=\sqrt{2}$

$\Rightarrow x^3+y^3\geq \sqrt{2}-\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

-----------------------

Vế 2:

$x^2+y^2=1$

$\Rightarrow x^2=1-y^2\leq 1\Rightarrow -1\leq x\leq 1$

$y^2=1-x^2\leq 1\Rightarrow -1\leq y\leq 1$

$\Rightarrow x^3\leq x^2; y^3\leq y^2$

$\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2$ hay $x^3+y^3\leq 1$

đề nga sơn kaka , anh vừa làm xong , 3x+5y+3z=51+21

3.(x+y+z)=72-2y

x+y+z=72-2y/3

x+y+z bé hơn hoạc bằng 24

/x+y+z/^2 bé hơn hoạc bằng 24^2 , dấu bằng xảy ra khi nào ???????

a)\(x^2+4y^2-2x+4y+2\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+4y+1\right)\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2\ge0\)(đúng)

b) Sửa đề

\(3y^2+x^2+2xy+2x+6y+3\)

\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+2y^2+2x+6y+3\)

\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+2y^2+4y+2\)

\(=\left(x+y+1\right)^2+2\left(y+1\right)^2\ge0\) (đúng)

1: \(A=\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y}{x-y}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

2: Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) và \(y=3-2\sqrt{2}\) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:

\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được

Ta chứng minh BĐT bên phải:

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)

\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

Trong toán tuổi thơ có bài này =))))

Do vai trò bình đẳng khi hoán vị vòng quanh các số x,y,z trong bài toán. Nên ta co thể giả sử \(x\ge z,y\ge z\).Ta có: \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)

\(=\frac{x^2-y^2+y^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)

\(=\left(x^2-y^2\right)\left(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y}\right)\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{\left(y^2-z^2\right)\left(x-z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z