Ta có: \(C=\frac{\left|x-2019\right|+2020}{\left|x-2019\right|+2021}=\frac{\left|x-2019\right|+2021-1}{\left|x-2019\right|+2021}=1-\frac{1}{\left|x-2019\right|+2021}\)

=> C đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\frac{1}{\left|x-2019\right|+2021}\) lớn nhất

=> |x - 2019| + 2021 nhỏ nhất

Ta có: \(\left|x-2019\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x-2019\right|+2021\ge2021\)

Dấu "=" xảy ra khi x - 2019 = 0

=> x = 2019

\(\Rightarrow C=\frac{\left|2019-2019\right|+2020}{\left|2019-2019\right|+2021}=\frac{2020}{2021}\)

Vậy \(MinC=\frac{2020}{2021}\Leftrightarrow x=2019\).

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối:

\(M=\left|x-2019\right|+\left|2021-x\right|+2020\left|x-2020\right|\)

\(M\ge\left|x-2019+2021-x\right|+2020\left|x-2020\right|=2+2020\left|x-2020\right|\ge2\)

\(\Rightarrow M_{min}=2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2019\right)\left(2021-x\right)\ge0\\\left|x-2020\right|=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2020\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

$|x-2019|+|x-2021|=|x-2019|+|2021-x|\geq |x-2019+2021-x|=2$

$|x-2020|\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow A=|x-2019|+|x-2020|+|x-2021|\geq 2+0=2$

Vậy $A_{\min}=2$
Giá trị này đạt được khi: $(x-2019)(2021-x)\geq 0$ và $x-2020=0$

Tức là $x=2020$

Theo bđt cosi 

\(P=\left|x-2019\right|+\dfrac{2020}{\left|x-2019\right|}+2021\ge2\sqrt{\dfrac{\left|x-2019\right|.2020}{\left|x-2019\right|}}+2021=4\sqrt{505}+2021\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x-2019=2020\Leftrightarrow x=4039\)

\(A=\left(\left|x-1\right|+\left|2020-x\right|\right)+\left(\left|x-2\right|+\left|2019-x\right|\right)+...+\left(\left|x-1009\right|+\left|1010-x\right|\right)\\ A\ge\left|x-1+2020-x\right|+\left|x-2+2019-x\right|+...+\left|x-1009+1010-x\right|\\ A\ge2019+2017+...+1=\dfrac{2020\left[\left(2019-1\right):2+1\right]}{2}=1020100\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(2020-x\right)\ge0\\...\\\left(x-1009\right)\left(1010-x\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le2020\\...\\1009\le x\le1010\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1009\le x\le1010\)

làm nốt câu này rồi đi ngủ 

\(Q=\frac{|x-2020|+|x-2019|+2019+1}{|x-2019|+|x-2020|+2019}=1+\frac{1}{|x-2020|+|x-2019|+2019}\)

Để Q đạt GTLN thì \(|x-2020|+|x-2019|+2019\)đạt GTNN 

Ta có : \(|x-2020|+|x-2019|+2019=|x-2020|+|2019-x|+2019\)

Sử dụng BĐT /a/ + /b/ >= /a+b/ ta được : 

\(|x-2020|+|2019-x|+2019\ge|x-2020+2019-x|+2019=2020\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-2020\right)\left(2019-x\right)\ge0\Leftrightarrow2020\ge x\ge2019\)

Khi đó : \(Q=1+\frac{1}{|x-2020|+|x-2019|+2019}\le1+\frac{1}{2020}=\frac{2021}{2020}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(2019\le x\le2020\)

Giá trị nhỏ nhất của A = -40

x = 2035

Giá trị nhỏ nhất của B = -207

x = 1

Giá trị nhỏ nhất của C = 4

x = -1

Giá trị nhỏ nhất của D = -2

x ∈ {-2;-1}

Giá trị nhỏ nhất của E = -2021

x = 2019

y = -2020