cho (O1) giao (O2) tại A,B. Tiếp tuyến chung ngoài P1, P2, Q1 Q2 là hình chiếu của P1 P2 lên O1 O2 chứng minh AQ1BQ2 là hình thoi , AQ1, AQ2 giao O1, O2 tại T, N chứng minh B, T, N thẳng hàng
Cho (O1,R1) và (O2,R2) tiếp tuyến ngoài tại A (R1>R2). Đường nối tâm O1O2 cắt (O1) tại B và cắt (O2) tại C. Dây DE của đường tròn (O1) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC
a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của CE và (O2). Chứng minh D, A, I thẳng hàng
c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O2).
https://i.imgur.com/8aMZrAO.jpg
Cho 2 đường tròn (O1),(O2) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng tiếp xúc (O1),(O2) lần lượt tại B và C.
a) chứng minh tam giác ABC vuông
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O1),(O2)
c) Chứng minh \(O_1M\perp O_2M\)
d) Các tia BA, CA cắt (O2),(O1) lần lượt tại D và E. Chứng minh diện tích tam giác ADE bằng diện tích tam giác ABC
( Mình sẽ làm tắt nha bạn, mấy chỗ đấy nó dễ rùi nếu ko hiểu thì cmt nhé )
a) Ta có: \(O_1B//O_2C\)( cùng vuông góc với BC )
\(\Rightarrow\widehat{BO_1A}+\widehat{CO_2A}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\left(180^0-2\widehat{BAO_1}\right)+\left(180^0-2\widehat{CAO_2}\right)=180^0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{BAO_1}+\widehat{CAO_2}\right)=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAO_1}+\widehat{CAO_2}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)
=> tam giác ABC vuông tại A
b) \(\widehat{O_1BA}+\widehat{MBA}=\widehat{O_1AB}+\widehat{BAM}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{O_1AM}=90^0\)
\(\Rightarrow AM\perp AO_1\)
=> AM là tiếp tuyến của \(\left(O_1\right)\)
CMTT : AM là tiếp tuyến của \(\left(O_2\right)\)
=> AM là tiếp tuyến chung của \(\left(O_1\right);\left(O_2\right)\)
+) Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{BMO_1}=\widehat{AMO_1}\\\widehat{CMO_2}=\widehat{AMO_2}\end{cases}}\)
Ta có; \(\widehat{BMO_1}+\widehat{AMO_1}+\widehat{CMO_2}+\widehat{AMO_2}=180^0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{O_1AM}+\widehat{AMO_2}\right)=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{O_1AM}+\widehat{AMO_2}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{O_1MO_2}=90^0\)
\(\Rightarrow O_1M\perp O_2M\)
d) Ta có: \(\widehat{O_1BA}=\widehat{O_1AB}=\widehat{O_2AD}=\widehat{O_2DA}\)
\(\widehat{\Rightarrow O_1BA}=\widehat{O_2DA}\)mà 2 góc này ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow O_1B//O_2D\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AO_1}{AO_2}\left(1\right)\)
CMTT \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AO_1}{AO_2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)
\(\Rightarrow AB.AC=AD.AE\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AD.AE\)
\(\Rightarrow S_{\Delta ADE}=S_{\Delta ABC}\)
Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) ngoài nhau. Gọi AB là một tiếp tuyến chung ngoài và CD là một tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn ( A, C ϵ ( O1 ) ; ( B, D ϵ ( O2 ). Chứng minh AC, BD, O1O2 đồng quy
Cho (O1, R1) tiếp xúc ngoài vói (O2, R2) tại C. Vẽ đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngoài (O1), (O2). Với A thuộc (O1), B thuộc (O2) . Vẽ (O,R) tiếp xúc ngoài vói (O1) và tiếp xúc ngoài với (O2) và (O,R) tiếp xúc với AB.
Chứng minh rằng : a) tam giác ABC vuông
b) \(\frac{1}{\sqrt{R}}=\frac{1}{\sqrt{R1}}+\frac{1}{\sqrt{R2}}\)
a)AD tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
b)BC=2*căn(R1*R2)
cho hai đường tròn tâm O1 và O2 tiếp xúc ngoài tại E. Vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài AB và CD với A và D là hai tiếp điểm thuộc (O1); B và C là hai tiếp điểm thuộc (O2). Chứng minh:
a, Tứ giác ABCD là hình thang cân (gợi ý CD và BA kéo dài cắt nhau ở F)
b, BC+AD=AB+CD (gợi ý : về tiếp tuyến chung trong tại E cắt AB và CD ở M và N
(trình bày cụ thể ra cho mình nhé)
Gọi CA và CB là hai tiếp tuyến của (O1) . Đường tròn (O2) qua C và tiếp xúc AB ở B cắt (O1) ở M . AM cắt BC tại I . Chứng minh:
1) IB2 = IM.IA
2) góc MIC = góc CAM
3) IC2= IM .IA
4) Vẽ dây AD của (O1) sao cho AD // NC . Chứng minh D, M, C thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp
xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2)
cắt nhau tại D (D không trùng với M).
1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông.
2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2).
3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
4) Xác định vị trí của M để đoạn thẳng O1 O2 ngắn nhất.
Cho 2 đường tròn (O1; R1); (O2; R2) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài tại BC (B thuộc O1, C thuộc O2). Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở I.
a) CM tam giác ABC, tam giác IO1O2 vuông và BC = 2\(\sqrt{R1R2}\)
b) Gọi R là bán kính đường tròn O tiếp xúc với BC và tiếp xúc ngoài 2 đường tròn O1, O2. CM \(\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R1}+\dfrac{1}{R2}\)
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA = IB = IC.
Do đó tam giác ABC vuông tại A.
Lại có \(IO_1\perp AB;IO_2\perp AC\) nên tam giác \(IO_1O_2\) vuông tại I.
b) Đầu tiên ta chứng minh kết quả sau: Cho hai đường tròn (D; R), (E; r) tiếp xúc với nhau tại A. Tiếp tuyến chung BC (B thuộc (D), C thuộc (E)). Khi đó \(BC=2\sqrt{Rr}\).
Thật vậy, kẻ EH vuông góc với BD tại H. Ta có \(DH=\left|R-r\right|;DE=R+r\) nên \(BC=EH=\sqrt{DE^2-DH^2}=2\sqrt{Rr}\).
Trở lại bài toán: Giả sử (O; R) tiếp xúc với BC tại M.
Theo kết quả trên ta có \(BM=2\sqrt{R_1R};CM=2\sqrt{RR_2};BC=2\sqrt{R_1R_2}\).
Do \(BM+CM=BC\Rightarrow\sqrt{R_1R}+\sqrt{R_2R}=\sqrt{R_1R_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{R}}=\dfrac{1}{\sqrt{R_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{R_2}}\).
P/s: Hình như bạn nhầm đề
Cho 2 đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của (O2) tại A cắt (O1) tại C và tiếp tuyến tại B của (O1) cắt (O2) tại D. Chứng minh:
a) AD song song với BC.
b) AB2 = AD . BC
c) \(\dfrac{BD^2}{AC^2}=\dfrac{AD}{BC}\)