Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    ;  \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);   \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0

Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)

b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)

a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)

=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c

Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều

co cach khac khong , minh chua hoc bat dang thuc cosi

a;b;c là 3 cạnh của tam giác => a; b; c dương

Với a; b dương ta có:  \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => a + b \(\ge\) 2. \(\sqrt{ab}\)

Tương tự, b + c \(\ge\) 2.\(\sqrt{bc}\); c + a \(\ge\)2. \(\sqrt{ca}\)

=> (a + b).(b+c).(c+a) \(\ge\)8. \(\sqrt{ab}\).\(\sqrt{bc}\).\(\sqrt{ca}\) = 8.abc 

Dấu = xảy ra khi a = b = c

=> tam giác có 3 cạnh là a; b; c là tam giác đều

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế với vế:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều

\(\Leftrightarrow2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)

Đặt \(a+b-c=x;\text{ }b+c-a=y;\text{ }c+a-b=z\)

Thì \(a=\frac{x+z}{2};\text{ }b=\frac{y+x}{2};\text{ }c=\frac{z+y}{2}\)

Nên cần chứng minh: 

\(xyz\le\frac{1}{8}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Điều này là hiển nhiên khi ta áp dụng bđt Côsi cho VP.

Vậy ta có đpcm.

sorry, em mới học lớp 6 thui à

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác => a,b,c là các số dương

Áp dụng BĐT AG-MG , ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)

Nhân theo từng vế ta được :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{ab.bc.ca}=8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c .

Mà : \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\) ( đề bài )

Vậy tam giác trên là tam giác đều .

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Do đó: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\forall a,c,b\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c

Vậy: Đây là tam giác đều

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác đều

nên a, b, c > 0

Ta có: a + b \(\ge\) 2\(\sqrt{ab}\),

b + c \(\ge\) 2\(\sqrt{bc}\),

c + a \(\ge\) 2\(\sqrt{ca}\)

Do đó: (a+b).(b+c).(c+a) \(\ge\) \(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)

=> (a+b).(b+c).(c+a) \(\ge\) 8abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.