Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy điểm M, N sao cho AM = AN.
a) Xác định các hình chiếu của BM, CN trên BC và chứng minh các hình chiếu đó bằng nhau.
b) Chứng minh !AMN = !ABC , từ đó suy ra MN ! BC
cho tam giác ABC cân tại A, trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng : a) các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau b) BN > BC + MN / 2
a) Vẽ MH \(⊥\)BC ; NK \(⊥\)BC
tam giác MBH = tam giác NCK ( cạnh huyền, góc nhọn )
suy ra BH = CK
b) tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )
suy ra BN = CM
Dễ thấy MN // BC
suy ra MN = HK ( tính chất đoạn chắn )
Ta có : BN > BK ; CM > CH ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )
Vậy BN + CM > BK + CH hay BN + BN > ( BH + HK ) + CH
2BN > ( BH + CH ) + HK ; 2BN > BC + MN \(\Rightarrow BN>\frac{BC+MN}{2}\)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên 2 cạnh AB, AC lấy 2 điểm M,N sao cho AM=AN, chứng minh rằng:
a) các hình chiếu BM và CN trên BC bằng nhau
b) BN> BC+MN :2
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh ABM=ACN
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh △ IBC cân.
. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AC, AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACN .
b) Chứng minh MN // BC.
c) Gọi O là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.
a) Xét tam giác ABM và tam giác ACN:
Góc A chung
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
AM = AN (gt)
Suy ra: tam giác ABM = tam giác ACN (c g c)
b) Xét tam giác AMN có :
AM =AN (gt)
Suy ra: tam giác AMN cân tại A
Suy ra góc ANM = \(\dfrac{\text{180 - góc A}}{2}\)
mà góc ABC = \(\dfrac{\text{180 - góc A}}{2}\) ( do tam giác ABC cân tại A)
Suy ra: góc ANM = góc ABC
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của MN và BC
Suy ra MN song song BC
a) Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAM}\) chung
AM=AN(gt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
b) Xét ΔAMN có AM=AN(gt)
nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
hay \(\widehat{ANM}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ANM}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c) Ta có: ΔABM=ΔACN(cmt)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{CBM}=\widehat{ABC}\)(tia BM nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACN}+\widehat{BCN}=\widehat{ACB}\)(tia CN nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
nên \(\widehat{CBM}=\widehat{BCN}\)
hay \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(Định lí đảo của tam giác cân)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AC, AB lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh BN=CM
b) Gọi O là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.
a: AM+MC=AC
NA+NB=AB
mà AB=AC; AM=AN
nên MC=NB
b: Xét ΔNBC và ΔMCB có
NB=MC
góc NBC=góc MCB
BC chung
=>ΔNBC=ΔMCB
=>góc OBC=góc OCB
=>ΔOBC cân tại O
Cho tam giác ABC cân tại A , trên AB và AC lấy các điểm M,N sao cho BM=CN
a, CM tam giác AMN cân và AMN =ABC
b, MNBC là hình gì
c, Gọi E,F,G,H là trung điểm của AM ,AN NC, MB . Chứng minh EFGH Là hình thang cân
d, EF =3cm ,GH = 8CM . Tính BC
a) Ta có: AM+MB=AB(M nằm giữa hai điểm A và B)
AN+NC=AC(N nằm giữa A và C)
mà MB=NC(gt)
và AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AM=AN
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)
nên \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
b) Ta có: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(cmt)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Xét tứ giác MNBC có MN//BC(cmt)
nên MNBC là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang MNBC(MN//BC) có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(ΔABC cân tại A)
nên MNBC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
c) Xét ΔAMN có
E là trung điểm của AM(gt)
F là trung điểm của AN(gt)
Do đó: EF là đường trung bình của ΔAMN(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
Suy ra: EF//MN và \(EF=\dfrac{MN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà MN//BC(cmt)
nên EF//BC(3)
Xét hình thang MNCB(MN//CB) có
H là trung điểm của MB(gt)
G là trung điểm của NC(gt)
Do đó: HG là đường trung bình của hình thang MNCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
Suy ra: HG//MN//BC và \(HG=\dfrac{MN+BC}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)(4)
Từ (3) và (4) suy ra EF//HG
Ta có: HG//BC(cmt)
nên \(\widehat{EHG}=\widehat{ABC}\) và \(\widehat{FGH}=\widehat{ACB}\)(Các cặp góc đồng vị)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)
Xét tứ giác EFGH có EF//HG(cmt)
nên EFGH là hình thang có hai đáy là EF và HG(Định nghĩa hình thang)
Hình thang EFGH(EF//HG) có \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)(cmt)
nên EFGH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
2/ Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điếm N sao cho AM = AN.
a. Chứng minh rằng Tam giác AMN là tam giác cân.
b. Chứng minh rằng: MN // BC.
c. Chứng minh rằng: tam giác MBC bằng tam giác NCB.
a: Xét ΔAMN có AM=AN
nên ΔAMN cân tại A
b: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC
nên MN//BC
c: Xét ΔMBC và ΔNCB có
MB=NC
\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)
BC chung
Do đó: ΔMBC=ΔNCB
b) -Ta có:
\(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{AMN}\) (Tam giác AMN cân tại A).
\(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{ABC}\) (Tam giác ABC cân tại A).
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong.
=>MN//BC
Bài 2:
a) Vì \(AM=AN\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại \(A\)
b) Vì \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (1)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
Mà \(2\) góc này ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow MN//BC\)
c) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM+MB=AB\left(M\in AB\right)\\AN+NC=AC\left(N\in AC\right)\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AM=AC\left(cmt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MB=NC\)
Xét \(\Delta MBC\) và \(\Delta NCB\) có:
\(MB=NC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(BC\) là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta NCB\left(c.g.c\right)\)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM=AN. Chứng minh rằng:
a) Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau;
b) \(BN>\frac{\left(BC+MN\right)}{2}\)
Cho ∆ABC cân tại A, trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng:
a/ Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau
b/ BN>BC+MN/2