Bài IV:

1: Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

2: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BA

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(3\right)\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>AC\(\perp\)CD tại C

=>AC\(\perp\)DM tại C

Xét ΔADM vuông tại A có AC là đường cao

nên \(MC\cdot MD=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(MA^2=MH\cdot MO=MC\cdot MD\)

3: Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)

\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)

mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)

nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)

=>AI là phân giác của góc HAM

Xét ΔAHM có AI là phân giác

nên \(\dfrac{HI}{IM}=\dfrac{AH}{AM}\left(5\right)\)

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOAM vuông tại A có 

\(\widehat{HOA}\) chung

Do đó: ΔOHA đồng dạng với ΔOAM

=>\(\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{HA}{AM}\)

=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{AH}{AM}\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) suy ra \(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{IH}{IM}\)

=>\(HO\cdot IM=IO\cdot IH\)

Bài 10:

a: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\)

\(=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{CD}\)

\(=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}\)

a: góc CAO+góc CMO=180 độ

=>CAOM nội tiếp

b: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

=>CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) co

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

CD=CM+MD=CA+DB

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: AC*BD=CM*MD=OM^2=R^2

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

hay MN//BP và MN=BP

Xét tứ giác BMNP có 

MN//BP

MN=BP

Do đó: BMNP là hình bình hành

( Hình em tự vẽ nhé )

+ Ta có: ΔABC = ΔDEF

=> \(\widehat{A}=\widehat{D}=30^o\)

+ Ta có: \(2\widehat{B}=3\widehat{C}\)

=> \(\widehat{B}=\dfrac{3\widehat{C}}{2}\)

+ Xét ΔABC 

=> \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\left(t3g\Delta\right)\)

Mà \(\widehat{A}=30^o;\widehat{B}=\dfrac{3\widehat{C}}{2}\)

=> \(30^o+\dfrac{3\widehat{C}}{2}+\widehat{C}=180^o\)

=> \(\dfrac{3\widehat{C}}{2}+\widehat{C}=150^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{3\widehat{C}}{2}+\dfrac{2\widehat{C}}{2}=150^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{5\widehat{C}}{2}=150^o\)

\(\Rightarrow5\widehat{C}=75^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=15^o\)

+ Xét ΔABC

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\left(t3g\Delta\right)\)

\(\Rightarrow30^o+15^o+\widehat{B}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=135^o\)

a)Ta có:
`hat{BFC}` là góc chẵn nửa (O)
`=>hat{BFC}=90^o`
Tương tự:`hat{BEC}=90^o`
Xét tam giác ABC có:
`CFbotAB(CMT)`
`AEbotAC(CMT)`
Mà CF cắt BE tại H
`=>H` là trực tâm tam giác ABC
`=>AHbotBC`
Hay `AD bot BC`
Vì `hat{BFH}=hat{BDH}=90^o`
`=>hat{BFH}+hat{BDH}=180^o`
`=>` tg BFHD nt
`=>hat{DFC}=hat{DBE}`

b)Vì `hat{EBC}=hat{EFC}`(cùng chắn cung EC nhỏ)

Mà tg BFHD nt

`=>hat{DFH}=\hat{HBD}`

`=>hat{DFH}=hat{EFC}`

`=>` FC là pg `hat{EFD}`

Vì `FC` là pg `hat{EFD}`

`=>hat{EFD}=2hat{DFH}`

Mà `hat{DFH}=hat{HBD}`

`=>hat{EFD}=2hat{DBH}`

Mà `hat{EOC}=2hat{DBH}`(góc nội tiếp và góc ở tâm)

`=>hat{EFD}=hat{EOC}`

`=>` tg OEFD nt (do trong = góc ngoài tại đỉnh đối)

a.

Qua S kẻ đường thẳng d song song AB

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AB\in\left(SAB\right)\\CD\in\left(SCD\right)\\AB||CD\\S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d=\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)

b.

Gọi E là trung điểm AD, kéo dài AG cắt SD tại F \(\Rightarrow F\) là trung điểm SD (do G là trọng tâm SAD)

AM thuộc AB nên AM cắt SB tại B \(\Rightarrow B'\) trùng B

Trong mp (SCD), qua F kẻ đường thẳng song song CD cắt SC tại C'

\(\Rightarrow C'\) là trung điểm SC (do F là trung điểm SD)

Trong mp (ABCD), kéo dài AB và CE cắt nhau tại H

3 mp (SCE), (ABCD), (AGM) cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt AB, CE, C'G, mà AB và CE cắt nhau tại H \(\Rightarrow\) 3 đường thẳng đồng quy tại H (theo t/c giao tuyến 3 mp cắt nhau)

Hay C',G,H thẳng hàng

\(AE||CB\) ; \(AE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}CB\Rightarrow\) AE là đường trung bình tam giác HCB

\(\Rightarrow A\) là trung điểm BH và E là trung điểm CH

\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác SCH

\(\Rightarrow\dfrac{HG}{HC'}=\dfrac{2}{3}\) (1)

Theo giả thiết \(MB=2MA\Rightarrow AB-MA=2MA\Rightarrow MA=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}AH\)

\(\Rightarrow\dfrac{HM}{BH}=\dfrac{AH+AM}{2AH}=\dfrac{AH+\dfrac{1}{3}AH}{2AH}=\dfrac{2}{3}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\dfrac{HG}{HC'}=\dfrac{HM}{BH}\Rightarrow MG||BC'\)

Hay \(MG||B'C'\) (do B trùng B')