Chox,y la 2 so thuc thoa man x.y=1
C/m :\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+x^2+y^2\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi nào
Cho x,y là 2 số thực bất kỳ khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\)\(\ge3\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
\(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x^4y^4+x^4\left(x^2+y^2\right)^2+y^4\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}{x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4x^4y^4+x^4\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)+y^4\left(x^4++2x^2y^2+y^4\right)-3x^2y^2\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4x^4y^4+x^8+2x^6y^2+x^4y^4+x^4y^4+2x^2y^6+y^8-3x^6y^2-6x^4y^4-3x^2y^6\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^8+y^8-x^6y^2-x^2y^6\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^6\left(x^2-y^2\right)-y^6\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^4+x^2y^2+y^4\right)\ge0\)( luôn đúng )
=> \(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
\(\hept{\begin{cases}x\left(2+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{y}\left(2+x+y\right)=-4\\x^2y^2+1=5y^2\end{cases}}\)cho ba so thuc a,b,c lon hon 0 thoa man a+b+c =1 cmr
chox,y thoa man
x^2+y^2-xy=2
va x^4+y^2+a^2+y^2=8
tinh a^8+y^8+(x.y)^2018
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\left(\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2}\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\) với \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
=>\(\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\) luôn đúng với t \(\ge2\) dpcm
X/y la 4 phan so nghich dao nen deu bang 1
tim gia tri nho nhat cua bieu thuc P=\(\left(1+x\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) trong do x,y la cac so duong thoa man \(x^2+y^2=1\)
1. Tim x,y,z biet: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-3=\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-4}\)
2. Chox,y,z > 0 thoa man \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\) . Tinh \(A=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}}\)
1)Với hai số dương x và y, chứng minh rằng \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{x+y}{4}\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cách khác:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)}{4}\ge2xy+\frac{x+y}{4}\)
\(=\frac{4xy+x+4xy+y}{4}=\frac{x\left(4y+1\right)+y\left(4x+1\right)}{4}\)
\(\ge\frac{4x\sqrt{y}+4y\sqrt{x}}{4}=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(x+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x}{4}}=\sqrt{x}\)
\(y+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{y}{4}}=\sqrt{y}\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{2}.2.\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
Cho 3 so x, y, z thoa man cac he thuc: \(\left(z-1\right)x-y=1\) va \(x+zy=2\)
Chmr: \(\left(2x-y\right)\left(z^2-z+1\right)=7\) va tim tat ca cac so nguyen x, y, z thoa man cac he thuc tren.