Hình vẽ:

Lời giải:
Áp dụng định lý Talet cho $AO\parallel MN$ thì:
$\frac{AO}{MN}=\frac{QA}{QM}(1)$

$A,O,B$ thẳng hàng nên $OB\parallel MN$. Áp dụng định lý Talet:

$\frac{OB}{MN}=\frac{PB}{PN}(2)$

Cũng vì $A,O,B$ thẳng hàng nên từ $OA\parallel MN$ suy ra $AB\parallel MN, QP$ 

$\Rightarrow \frac{OA}{QM}=\frac{PB}{PN}(3)$

Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow \frac{OA}{MN}=\frac{OB}{MN}$

$\Rightarrow OA=OB$

ta có MNPQ là hình thang=>MN//PQ

mà \(=\angle\left(NMP\right)=\angle\left(MNQ\right)=>\angle\left(NQP\right)=\angle\left(MPQ\right)\)

=>tam giác MNO cân tại O=>MO=NO

=>tam giác QOP cân tại O=>OQ=Op

=>MO+OP=NO+OQ=>NQ=MP

=>MNPQ là hình thang cân

\(=>\angle\left(M\right)=\angle\left(N\right)\left(1\right)\)

\(\angle\left(Q\right)=\angle\left(P\right)\left(2\right)\)

mà EF//PQ=>EF//MN

=>MNFE là hình thang(3)

từ (1)(3)=>MNFE là hình thang cân

=>EFPQ là hình thang(4)

(2)(4)=>EFPQ là hình thang cân

Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)

\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)

mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên ΔOMN cân tại O

Xét ΔOPQ có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

nên ΔOPQ cân tại O

Ta có: OM+OP=MP

ON+OQ=QN

mà OM=ON

và OP=OQ

nên MP=QN

Hình thang MNPQ có MP=QN

nên MNPQ là hình thang cân

Suy ra: \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\) và \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

Hình thang EMNF có \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\)

nên EMNF là hình thang cân

Hình thang EQPF có \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

nên EQPF là hình thang cân

Đề sai rồi bạn

a: Xét ΔMHQ vuông tại H và ΔPKN vuông tại K có 

MQ=PN

\(\widehat{MQH}=\widehat{PNK}\)

Do đó: ΔMHQ=ΔPKN

Suy ra: MH=PK

?

a: Xét tứ giác MNKP có

MN//KP

MP//NK

=>MNKP là hình bình hành

=>MP=NK

mà MP=NQ

nên NK=NQ

=>ΔNKQ cân tại N

b: MNKP là hbh

=>góc K=góc NMP

=>góc K=góc MPQ

=>góc MPQ=góc NQP

Xét ΔMQP và ΔNPQ có

MP=NQ

góc MPQ=góc NQP

QP chung

=>ΔMQP=ΔNPQ

c: ΔMQP=ΔNPQ

=>góc MQP=góc NPQ

=>MNPQ là hình thang cân

Xét hình thang MNPQ có A là trung điểm MQ và B là trung điểm NP

=> AB là đường trung bình của hình thang MNPQ

=> AB//MN//PQ

Xét tam giác MQN có: A là trung điểm MQ và AE//MN

=> AE là đường trung bình của tam giác QMN

=> E là trung điểm QN

=> EN=EQ

Tương tự xét tam giác PMN có BF là đường trung bình 

=> F là trung điểm MP

=> FM=FP

b) AB là đường trung bình của hình thang MNPQ

=> AB=(MN+QP):2=6 (cm)

AE là đường trung bình của tam giác MQN

=> AE=1/2 MN =1/2  .4=2 (cm)

BF là đường trung bình của tam giác MNP

=> BF =1/2  MN=2 (cm)

=> EF=AB-AE-BF=6-2-2=2 (cm)

Xét (O) có

ΔQKP nội tiếp

QP là đường kính

DO đó: ΔQKP vuông tại K

Xét tứ giác MNPK có \(\widehat{PKN}=\widehat{PMN}=90^0\)

hay MNPK là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

ΔPHQ nội tiếp

PQ là đường kính

Do đó: ΔPHQ vuông tại H

Xét tứ giác MQHN có \(\widehat{QMN}+\widehat{QHN}=180^0\)

nên MQHN là tứ giác nội tiếp

1: Xét ΔDAB có MN//AB

nên MN/AB=DM/DA

Xét ΔCAB có PQ//AB

nên PQ/AB=CQ/CB

Xét hình thang ABCD có MQ//AB//CD

nên DM/DA=CQ/CB

=>MN=PQ

2: MN=PQ

=>MN+NP=PQ+NP

=>MP=NQ