Đặt x=a+b+c(x>3)

Ta có \(\left(x-6\right)^2\ge0\)(dấu '=' xảy ra khi x=6 hay a+b+c=6)\(\Leftrightarrow x^2-12x+36\ge0\Leftrightarrow x^2\ge12x-36\Leftrightarrow x^2\ge12\left(x-3\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-3}\ge12\)(1)

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(dấu '=' xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\))

Ta có \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{x^2}{x-3}\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)(đpcm)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b-1}=\frac{b}{c-1}=\frac{c}{a-1}\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

áp dụng bất đẳng thức côsi 

\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}\cdot4\left(b-1\right)}=4a\)

\(\frac{b^2}{c-1}+4\left(c-1\right)\ge4b\)

\(\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge4c\)

cộng vế theo vế

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)+4\left(b-1\right)+4\left(c-1\right)\ge4a+4b+4c\)

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge4\left(a+b+c\right)-4\left(a+b+c\right)+4\cdot3=12\)(đpcm)

Cách khác:

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)-3}\)

Đặt \(a+b+c=x>3\)

Ta cần chứng minh

\(\frac{x^2}{x-3}\ge12\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-6\right)^2}{x-3}\ge0\)(đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)(1)

Đặt a + b + c - 3 = x 

Vì a,b,c > 1 => x > 0

=>  \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{\left(x+3\right)^2}{x}=\frac{x^2+6x+9}{x}=x+6+\frac{9}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}+6=12\)( AM-GM )

=> \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\)

=> \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = 3 => a=b=c=2

câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m

Bạn nói rõ hơn được không???

Để chừng nào t làm được câu 1 thì t giải giúp cho 1 lần luôn

mình chịu bó tay

sao lại thế -.-

Bài 1:

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:

\(\frac{bc}{2a+b+c}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT kia ta cũng có: 

\(\frac{ca}{2b+c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\right);\frac{ab}{2c+a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT ta có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{ca+bc}{a+b}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}=VP\)(Điều phải chứng minh)

Bài 2: xem lại đề nhất là cái chỗ giả thiết

*Giá trị nhỏ nhất của A  đặt được khi \(ab=12;bc=8\)tại điểm rơi \(a=3,b=4,c=2\)Ta áp dụng bất đẳng thức cho từng nhóm sau:

\(\left(\frac{a}{18};\frac{b}{24};\frac{2}{ab}\right),\left(\frac{a}{9};\frac{c}{6};\frac{2}{ca}\right),\left(\frac{b}{16};\frac{c}{8};\frac{2}{bc}\right),\left(\frac{a}{9};\frac{c}{6};\frac{b}{12};\frac{8}{abc}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

\(\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{18}\cdot\frac{b}{24}\cdot\frac{2}{ab}}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{9}+\frac{c}{6}+\frac{2}{ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{9}\cdot\frac{c}{6}\cdot\frac{2}{ca}}=1\)

\(\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc}\ge3\sqrt[3]{\frac{b}{16}\cdot\frac{c}{8}\cdot\frac{2}{bc}}=\frac{3}{4}\)

\(\frac{a}{9}+\frac{c}{6}+\frac{b}{12}+\frac{8}{abc}\ge4\sqrt[4]{\frac{a}{9}\cdot\frac{c}{6}\cdot\frac{b}{12}\cdot\frac{8}{abc}}=\frac{4}{3}\)

\(\frac{13a}{18}+\frac{13b}{24}\ge2\sqrt{\frac{13a}{18}\cdot\frac{13b}{24}}\ge2\sqrt{\frac{13}{18}\cdot\frac{13}{24}\cdot12}=\frac{13}{3}\)

\(\frac{13b}{48}+\frac{13c}{24}\ge2\sqrt{\frac{13b}{48}\cdot\frac{13c}{24}}\ge2\sqrt{\frac{13}{48}\cdot\frac{13}{24}\cdot8}=\frac{13}{4}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=3;b=4;c=2\)

giả sử 0<=a<=b<=c