bn cho mình gửi sắp đến thi học kì 2 rồi. đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc:
1: áo quần
2: tiền
3: đc nhiều người yêu quý
4: may mắn cả
5: luôn vui vẻ trong cuộc sống
6: đc crush thích thầm
7: học giỏi
8: trở nên xinh đẹp
phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người, sau 3 ngày bn sẽ có những đc điều đó. nếu bn ko gửi tin nhắn này cho 25 người thì bn sẽ luôn gặp xui xẻo, học kì 2 bn sẽ là học sinh yếu và bạn bè xa lánh( lời nguyền sẽ bắt đầu từ khi đọc) ( mình
 cũng bị ép);-;

a) S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

ta có: (2+2²) + (2³+2⁴)+...+(2⁹⁹+2¹⁰⁰)

          chc 3  + chc 3 +....+  chc 3

=> S chia hết cho 3

b) S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

ta có: (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + .... + (2^{97 +} 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

                chc 15          +.......+    chc 15

=> S chia hết cho 15

chc nghĩa là chia hết cho nhak

a/

\(3S=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\)

\(2S=3S-S=3^{120}-1\Rightarrow S=\frac{3^{120}-1}{2}\)

b/ \(S=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{117}+3^{118}+3^{119}\right)\)

\(S=13+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{117}\left(1+3+3^2\right)\)

\(S=13+3^3.13+...+3^{117}.13=13\left(1+3^3+...+3^{117}\right)\) chia hết cho 13

c/

\(S=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{116}+3^{117}+3^{118}+3^{119}\right)\)

\(S=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{116}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(S=40+3^4.40+...+3^{116}.40=40\left(1+3^4+...+3^{116}\right)\) chia hết cho 40

\(S=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

Mà \(1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{99.100}=1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(=2-\dfrac{1}{100}< 2\)

\(\Rightarrow\) \(S< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

Vậy \(S< 2\left(đpcm\right).\)

Câu 1 :

Ta có :

\(S=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+..........+\dfrac{1}{100^2}\)

Ta thấy :

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)

........................

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)

\(\Leftrightarrow S< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+.......+\dfrac{1}{99.100}\)

\(\Leftrightarrow S< 1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+.....+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow S< 1+1-\dfrac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow S< 2+\dfrac{1}{100}< 2\)

\(\Leftrightarrow S< 2\rightarrowđpcm\)

\(S=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)

\(S< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(S< 1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(S< 2-\dfrac{1}{100}\)

\(S< 2\rightarrowđpcm\)

b2

\(A=16^5+2^{15}\)

\(=2^{20}+2^{15}\)

\(=2^{15}\left(2^5+1\right)\)

\(=2^{13}.4.33\)

\(=2^{13}.132⋮132\)

Vậy S chia hết cho 132

Có \(16^5⋮4\)

\(2^{15}⋮4\)

\(\Rightarrow A⋮4\)(1)

Có \(16^5=\left(2^4\right)^5=2^{4.5}=2^{20}\)

Thay vào A\(\Rightarrow A=2^{20}+2^{15}=2^{15}\left(2^5+1\right)=2^{15}.31\)

\(\Rightarrow A⋮33\)(2)\

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow A⋮132\)

1) S = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^99 ( có 100 số; 100 chia hết cho 4)

S = (1 + 2) + (2^2 + 2^3) + ... + (2^98 + 2^99)

S = 3 + 2^2.(1 + 2) + ... + 2^98.(1 + 2)

S = 3 + 2^2.3 + ... + 2^98.3

S = 3.(1 + 2^2 + ... + 2^98) chia hết cho 3 ( đpcm)

3) lm tươg tự câu 1, nhóm 4 số 

3) Để thừa ra số 1 đầu tin, típ theo nhóm 3 số 

KL: S chia 7 dư 1