Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA\(\perp\)MN tại I

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có

\(\widehat{HOA}\) chung

Do đó: ΔOHA~ΔOIC

=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OA}{OC}\)

=>\(OH\cdot OC=OA\cdot OI\)

mà \(OA\cdot OI=OM^2=OB^2\)

nên \(OB^2=OH\cdot OC\)

=>\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

Xét ΔOBC và ΔOHB có

\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

\(\widehat{BOC}\) chung

Do đó: ΔOBC~ΔOHB

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OHB}\)

mà \(\widehat{OHB}=90^0\)

nên \(\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90 °

Suy ra: NM ⊥ MC

Mà OA ⊥ MN (chứng minh trên)

Suy ra: OA // MC

a: Ta có: ΔOMN cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác củagóc MON

Xét ΔOMA và ΔONA có

OM=ON

góc MOA=góc NOA

OA chung

Do đó: ΔOMA=ΔONA

=>góc ONA=90 độ

=>AN là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

KC,KB là tiếp tuyến

nên KC=KB

=>K năm trên trung trực của BC(1)

ΔOBC cân tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI là trung trực của BC(2)

Từ (1), (2) suy ra O,I,K thẳng hàng

=>OK vuông góc với BC tại I

=>OI*OK=OB^2=ON^2

a: Xét tứ giác AMON có

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\)

Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp

a) Xét (O) có 

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

AN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: AM=AN; OM=ON(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AM=AN(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OM=ON(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

hay AO⊥MN(đpcm)

b) Xét (O) có 

ΔMNC nội tiếp đường tròn(C,M,N∈(O))

NC là đường kính

Do đó: ΔMNC vuông tại M(Định lí)

⇒MN⊥MC

Ta có: MN⊥MC(cmt)

MN⊥AO(cmt)

Do đó: MC//AO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOMA vuông tại M, ta được:

\(OA^2=OM^2+MA^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16\)

hay \(AM=\sqrt{16}=4cm\)

mà AM=AN(cmt)

nên AN=4cm

Gọi H là giao điểm của MN và AO

mà MN⊥AO tại trung điểm của MN

nên H là trung điểm của MN và MH⊥AO tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMO vuông tại M, ta được:

\(MH\cdot AO=MO\cdot MA\)

\(\Leftrightarrow MH\cdot5=4\cdot3=12\)

hay MH=2,4cm

mà \(MN=2\cdot MH\)(H là trung điểm chung của MN)

nên \(MN=2\cdot2.4=4.8cm\)

Chu vi tam giác AMN là: 

\(C=AM+AN+MN=5+5+4.8=14.8cm\)