từ 1 điểm A nằm ngoài (O) vẽ AB,AC tiếp tuyến với đường tròn . Qua O vẽ đường thẳng vuông góc OB, cắt AC tại M. Chứng minh: a) ABOC nội tiếp. b) Tam giác MOA cân
Lấy Điểm A nằm ngoài đường tròn ( O;R) sao cho AO = 3R. Vẽ hai tiếp tuyến AB; AC với đường tròn ( B;C là tiếp điểm). a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Qua A vẽ cát tuyến AEF với (O) sao cho E nằm giữa A và F và cắt đoạn thẳng OB tại K. Chứng minh: AC^2 = AE.AF c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M, I là trung điểm của EF. Chứng minh: MI // FB.
a: góc OBA+góc OCA=90+90=180 độ
=>OBAC nội tiếp
b: Xét ΔACE và ΔAFC có
góc ACE=góc AFC
góc CAE chung
=>ΔACE đồng dạng với ΔAFC
=>AC/AF=AE/AC
=>AC^2=AF*AE
Cho đường tròn tâm \(O\). Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến \(AB,AC\). Đường thẳng \(AO\) cắt \(BC\) tại \(E\).
\(a\)) Chứng minh: Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.
\(b\)) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BE\). Đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(OI\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(D,F\). Chứng minh rằng: \(\widehat{IDO}=\widehat{BCO}\).
\(c\)) Chứng minh rằng: Tam giác \(ODF\) cân.
\(d\)) Chứng minh rằng: \(F\) là trung điểm của \(AC\).
a) Nhận thấy \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^o\) nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.
b) Nhân thấy \(\widehat{OID}=\widehat{OBD}=90^o\) nên tứ giác OIBD nội tiếp đường tròn đường kính OD \(\Rightarrow\widehat{IDO}=\widehat{IBO}\)
Lại có \(\widehat{IBO}=\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\) nên dễ dàng suy ra đpcm.
c) Dễ chứng minh tứ giác OCFI nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{OCB}=\widehat{OCI}=\widehat{OFI}=\widehat{OFD}\)
Theo câu b, ta có \(\widehat{FDO}=\widehat{IDO}=\widehat{BCO}\) nên dẫn đến \(\widehat{OFD}=\widehat{FDO}\). Do đó tam giác ODF cân tại O. (đpcm)
d) Tam giác ODF cân tại F có đường cao OI nên I là trung điểm DF.
Mặt khác, có I là trung điểm BE nên tứ giác BDEF là hình bình hành.
\(\Rightarrow\) EF//BD hay EF//AB.
Lại có E là trung điểm BC nên F là trung điểm AC (đpcm)
cho đường tròn O , từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AB ,AC ( B,C là các tiếp điểm ) . OA cắt BC tại H
A/ chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC
B/ gọi M là trung điểm của BH . chứng thẳng qua M và vuông góc OM cắt các tia AB,AC theo thứ tự tại E , F . chứng minh góc OEM = góc OBM
C/ chứng minh F là trung điểm AC
thankkkkkkkkkkkkkkkkk
a) Ta có: \(\angle ABO+\angle ACO=90+90=180\Rightarrow ABOC\) nội tiếp
Vì AB,AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)
\(\Rightarrow AO\bot BC\)
b) Ta có: \(\angle OME=\angle OBE=90\Rightarrow OMBE\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle OBM=\angle OEM\)
c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)
\(\Rightarrow H\) là trung điểm BC
Tương tự như câu b \(\Rightarrow\angle OFM=\angle OCM\)
mà \(\angle OBM=\angle OCM\) (\(\Delta OBC\) cân tại O)
\(\Rightarrow\angle OFM=\angle OEM\Rightarrow\Delta OFE\) cân tại O có \(OM\bot FE\)
\(\Rightarrow\) M là trung điểm FE
Xét \(\Delta HFM\) và \(\Delta BEM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}MH=MB\\MF=ME\\\angle HMF=\angle BME\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta HFM=\Delta BEM\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle HFM=\angle BEM\)
\(\Rightarrow HF\parallel BE\Rightarrow HF\parallel AB\) mà H là trung điểm BC
\(\Rightarrow F\) là trung điểm BC
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm) . a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H. b) Vẽ đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt cạnh AC tại E. Chứng minh: ∆OAE là tam giác cân. c) Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q. Vẽ hai tiếp tuyến QM, QN đến (O) (M, N là tiếp tuyến). Chứng minh: 3 điểm A, M, N thẳng hàng
a) Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: AB=AC(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
hay OA⊥BC(đpcm)
b) Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)(3)
Ta có: ΔOCA vuông tại C(CA là tiếp tuyến của (O) có C là tiếp điểm)
nên \(\widehat{CAO}+\widehat{COA}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{EAO}+\widehat{COA}=90^0\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAO}+\widehat{BOA}=90^0\)(5)
Vì tia OA nằm giữa hai tia OE và OB
nên \(\widehat{BOA}+\widehat{EOA}=\widehat{BOE}\)
hay \(\widehat{EOA}+\widehat{BOA}=90^0\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{EAO}=\widehat{EOA}\)
Xét ΔOAE có \(\widehat{EAO}=\widehat{EOA}\)(cmt)
nên ΔOAE cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)
Cho đường tròn (O; R) và điểm a nằm ngoài đường tròn (sao cho OA> 2R). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Vẽ đường kính CE của đường tròn (O), AE cắt (O) tại điểm thứ hai là F.
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OA vuông góc với BC tại H
b) Chứng minh: AB2= AE. AF và FHOE nội tiếp
a: góc OBA+góc OCA=180 độ
=>ABOC nội tiếp
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
=>AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc BC
b: Xét ΔABF và ΔAEB có
góc ABF=góc AEB
góc BAF chung
=>ΔABF đồng dạng với ΔAEB
=>AB/AE=AF/AB
=>AB^2=AE*AF
cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC (B; c là các tiếp điểm). gọi H là giao điểm OA và BC
a) Qua O vẽ đường vuông góc với OB cắt AC tại M. cm tam giác AMO cân
b) qua A vẽ đường thẳng không đi qua tâm cắt đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa A và F), K là trung điểm EF, tia OK cắt BC tại S. cm: SE là tiếp tuyến của (O)
Cho (O;R).từ điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA=2R vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm ) kẻ dây BC vuông góc OA a) chứng minh : AC là tiếp tuyến của đường tròn(O) b)Qua O vẽ đường vuông góc với OC cắt AB tại M. Chứng minh rằng: tam giác OMA tà tam giác cân c) gọi N là giao điểm của OA với đường tròn (O) ,tia MN Cắt AC tại K .chứng minh rằng:MK là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) tính chu vi tam giác AMK theo R
a: ΔOBC cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc BOC
Xét ΔOBA và ΔOCA có
OB=OC
\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔOCA
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)
=>AC là tiếp tuyến của (O;R)
b: \(\widehat{MOA}+\widehat{COA}=\widehat{MOC}=90^0\)
\(\widehat{MAO}+\widehat{BOA}=90^0\)(ΔBAO vuông tại B)
mà \(\widehat{COA}=\widehat{BOA}\)
nên \(\widehat{MOA}=\widehat{MAO}\)
=>ΔMAO cân tại M
Cho (O;R).A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=2R.Kẻ tiếp tuyến AB và AC với (O) (B,C là tiếp điểm) Đoạn thẳng OA cắt (O) tại I đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K a) chứng minh tam giác OAK cân tại A b)CB vuông góc với OA c) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA⊥BC
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O,R) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC đến (O)
a, CHứng minh OA vuông góc với BC tại H
b, Vẽ đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt cạnh AC tại E
Chứng minh tam giác OAE cân
c, Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q , Vẽ 2 tiếp tuyến QM, QN đến (O) . CHứng minh 3 điểm A,M,N thẳng hàng