gọi dãy số trên là A

ta có A<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2013.2014}\)

A<1-\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

A<1-\(\frac{1}{2014}\)=\(\frac{2013}{2014}\)

Vậy A < \(\frac{2013}{2014}\)

ko biết

Ta có 9911 = 11 . 17 . 53 . Trong mỗi tích đều có các thừa số đó :

- Tích các số lẻ có chứa các số 11 ; 17 ; 53

- Tích các số chẵn có các số 22 ; 34 ; 106 lần lượt là bội của các số 11 ; 17 ; 53

=> Tổng hai tích chia hết cho 9911.

Đa thức bậc 4 có dạng \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

+) \(f\left(1\right)=f\left(-1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e=a-b+c-d+e\)

\(\Leftrightarrow b+d=-b-d\)

\(\Leftrightarrow2\left(b+d\right)=0\Leftrightarrow b+d=0\Leftrightarrow b=-d\)(1)

+) \(f\left(2\right)=f\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow16a+8b+4c+2d+e=16a-8b+4c-2d+e\)

\(\Leftrightarrow8b+2d=-8b-2d\)

\(\Leftrightarrow4b+d=0\Leftrightarrow4b=-d\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4b=b\Leftrightarrow3b=0\Leftrightarrow b=0\Leftrightarrow b=d=0\)

Vậy f(x) trở thành \(f\left(x\right)=ax^4+cx^2+e\)

f(x) là đa thức có bậc chẵn nên f(x) = f(-x)

Vậy \(f\left(2013\right)=f\left(-2013\right)\)(đpcm)

Đặt \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+........+\frac{1}{2014^2}\)

Đặt A=\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+........+\frac{1}{2014.2015}\)

\(A=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+.....\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\\ =>A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\\ =>A=\frac{2013}{4030}\)

Mà S>A =>S>\(\frac{2013}{4030}\)

a)Xét \(2A=2+2^2+....+2^{2015}\)

nên \(2A-A=2^{2015}-1\)

=>\(A=2^{2015}-1\)

b)Ta có :\(2^5=32\equiv-1\left(mod31\right)\)

=>\(2^{2015}\equiv-1\left(mod31\right)\)

=>\(2^{2015}-1\equiv-2\left(mod31\right)\)(kiểm tra lại đề bài đi bạn)

Đặt \(A=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{2014^2}\)

\(A>\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6.7}+\dfrac{1}{7.8}+...+\dfrac{1}{2014.2015}\)

\(A>\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2015}\)

\(A>\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2015}\)

\(A>\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{150}=\dfrac{1}{5}\) (đpcm)

Chữ hơi xấu thông kẻm :>

Vội qá nên gạch xóa nhiều :>