bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3abc\) (*) 

đặt \(\left(\sqrt{ab};\sqrt{bc};\sqrt{ca}\right)=\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\)\(xyz\le\frac{1}{27}\)

(*) \(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3xyz\)

\(VT\ge\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\)

Có \(xy+1\ge10\sqrt[10]{\frac{xy}{9^9}}\)

Tương tự với \(yz+1\)\(;\)\(zx+1\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge10^3\sqrt[10]{\frac{\left(xyz\right)^2}{9^{27}}}\)

Ta cần CM \(10^3\sqrt[10]{\frac{\left(xyz\right)^2}{9^{27}}}\ge\frac{10^3}{3^3}xyz\) đúng với \(xyz\le\frac{1}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\)

Vì a+b+c=1 nên 

\(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)=abc+\frac{1}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\)

Từ BĐt Cosi cho 3 số dương ta có:

\(\frac{1}{3}=\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)

đặt x=abc thì \(0< x\le\frac{1}{27}\)

do đó: \(x+\frac{1}{x}-27-\frac{1}{27}=\frac{\left(27-x\right)\left(1-27x\right)}{27x}\ge0\)

=> \(x+\frac{1}{x}=abc+\frac{1}{abc}\ge27+\frac{1}{27}=\frac{730}{27}\)

Mặt khác: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Nên  \(P\ge\frac{730}{27}+10=\frac{1000}{27}=\left(\frac{10}{3}\right)^3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c\(=\frac{1}{3}\)

ta có a+bc=a(a+b+c)+ab=(a+b)(a+c)

tương tự b+ca=(b+c)(a+b)

c+ab=(a+c)(b+c)

ad bđt cô si cho 3 số dương ta có

a^3/(a+b)(a+c)+a+b/8+a+c/8 >=3a/4

tương tự bạn lm tiếp nhé

Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Theo đề bài ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)

1/a+1/b+1/c >= 9

<=>(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) >= 9(a+b+c)=9 (do a+b+c=1)

<=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) 

áp dụng bđt côsi cho các số dương a/b,b/a,b/c,c/b,c/a,a/c 

a/b+b/a >= 2.căn a/b . b/a =2 

Tương tự b/c+c/b >= 2,c/a+a/c >= 2

=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) >= 3+2+2+2=9 

=>đpcm

a + b=1 và a,b>0
Áp dụng bất đảng thức cauchy . \(a+b\ge2\sqrt{a.b}\)  dấu = xảy ra khi a=b

Vậy \(a.b\le\frac{\left(a+b\right)2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(a.b+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{ab+2}}\ge\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}}}=\frac{2}{3}\)(1)

Có \(\frac{1}{a+1},\frac{1}{b+1}\)cũng là số dương nên áp dụng Cauchy có : \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge2\frac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{2}{\sqrt{ab+a+b+1}}=\frac{2}{\sqrt{a.b+2}}\) (2)

Từ (1) thay vào (2) có
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{a.b+2}}\ge2.\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\left(đpcm\right)\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = \(\frac{1}{2}\)
 

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)

Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:

\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)

Nhân (1) (2) vế heo vế ta được

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))

vì a+b+c=1 nên

\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)

ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))

ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)^{2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0      luôn đúng}

^{tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2}

^{vậy 1/a+1/b+1/c>=9}

Bài này bạn áp dụng BĐT Cô - si là ra

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Dấu " = " xảy ra < = > a=b=c

\(\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}=\frac{a+b+c}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) cho hai số dương,ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

vì a+b+c =1 nên ta đi cm \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (BĐT Cô si)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) ( BĐT Cô si)
Nhân vế với vế -> đpcm

\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Có thể làm đơn giản hơn đc không #Mạnh ?? bọn tớ chưa học về BĐT Cô si T.T