Question

Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\) 9

Answer 1

qsaxdcvf

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy...

Answer 3

Ta có : (a + b + c ) . (\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+ \(\frac{1}{c}\))  = 1 + \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{a}\)+ 1 + \(\frac{b}{c}\)+ \(\frac{c}{a}\)+ \(\frac{c}{b}\) +1

= 3 + (\(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{b}{a}\)) + (\(\frac{a}{c}\)+ \(\frac{c}{a}\)) + ( \(\frac{b}{c}\)+ \(\frac{c}{b}\))

Do \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2  ; \(\frac{a}{c}\)+ \(\frac{c}{a}\)\(\ge\)2 ; \(\frac{b}{c}\)+ \(\frac{c}{b}\)\(\ge\)2

\(\Rightarrow\)(a + b + c ).(\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+ \(\frac{1}{c}\))  \(\ge\)3 + 2 + 2 + 2

\(\Rightarrow\)(a + b + c ).(\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+ \(\frac{1}{c}\)) \(\ge\)9

Mà a + b + c = 1

\(\Rightarrow\)(\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+ \(\frac{1}{c}\))\(\ge\)9

Answer 4

Áp dụng bất đẳng thức  ta có:

a/1 + b /1 + c /1 ≥(1 + 1 + 1)^ 2 /a + b + c  = 9/1 = 9

Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3 1 Vậy... 

chúc hok tốt 

Answer 5

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Answer 6

xin chém cách khác ạ :v

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

\(< =>\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(< =>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm  :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Answer 7

Bài làm

Ta có: a + b + c = 1

Theo bất đẳng thức Cauchy-schwarz, ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{3^2}{1}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\) 

~ Mik không chắc cách làm có đúng hay không vì mình chỉ đọc sơ qua dạng này. ~