\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+b+c=0\\4-2b+c=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=-1\\c-2b=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-\dfrac{11}{3}\\c=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left(P\right):y=x^2-\dfrac{11}{3}x+\dfrac{8}{3}\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm A(8; 0) nên:

\(a{.8^2} + b.8 + c = 0 \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh là I(6;-12):

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow  - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0\)

\(a{.6^2} + 6b + c =  - 12 \Leftrightarrow 36a + 6b + c =  - 12\)

Từ 3 phương trình trên ta có: \(a = 3;b =  - 36,c = 96\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = 3{x^2} - 36x + 96\)

+ Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua điểm B(–1 ; 6)

⇒ 6 = a.( –1)2 + b.( –1) + 2 ⇒ a = b + 4 (1)

+ Parabol y = ax2 + bx + 2 có tung độ của đỉnh là –1/4

Thay (1) vào (2) ta được: b2 = 9.(b + 4) ⇔ b2 – 9b – 36 = 0.

Phương trình có hai nghiệm b = 12 hoặc b = –3.

Với b = 12 thì a = 16.

Với b = –3 thì a = 1.

Vậy có hai parabol thỏa mãn là y = 16x2 + 12b + 2 và y = x2 – 3x + 2.

a) Thay x=1 và y=-2 vào (P), ta được:

\(a\cdot1^2-4\cdot1+c=-2\)

\(\Leftrightarrow a-4+c=-2\)

hay a+c=-2+4=2

Thay x=2 và y=3 vào (P), ta được:

\(a\cdot2^2-4\cdot2+c=3\)

\(\Leftrightarrow4a-8+c=3\)

hay 4a+c=11

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=2\\4a+c=11\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3a=-9\\a+c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\c=2-a=2-3=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: (P): \(y=3x^2-4x-1\)

Đỉnh của parabol là \(\frac{-\Delta}{4a}\) ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{-\Delta}{4a}=-25\\16a-4b+c=0\\36a+6b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac=100a\\16a-4b+c=0\\36a+6b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac=100a\\16a-4b+c=0\\36a+6b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac=100a\\24a+c=0\\2a+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a^2-4ac=100a\\24a+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-c=25\\24a+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-2\\c=-24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=x^2-2x-24\)

Parabol có đỉnh I(1;4) hay I(1;4) thuộc parabol

\( \Rightarrow 4 = {1^2} + 1.b + c \Leftrightarrow b + c = 3\)

Chọn C.

\(ĐK:a\ne0\)

\(A\left(0;1\right)\in\left(P\right)\Leftrightarrow c=1\)

(P) có đỉnh trên trục hoành \(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=0\Leftrightarrow b^2=4ac=4a\Leftrightarrow a=\dfrac{b^2}{4}\)

\(B\left(2;1\right)\in\left(P\right)\Leftrightarrow4a+2b+c=1\\ \Leftrightarrow b^2+2b=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\Leftrightarrow a=0\left(ktm\right)\\b=-2\Leftrightarrow a=1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(a+b+c=1-2+1=0\)

Lời giải:

Theo bài ra thì tọa độ đỉnh của parabol là $(-2,19)$

Từ hàm $y=ax^2+bx+3=a(x+\frac{b}{2a})^2+3-\frac{b^2}{4a}$ ta có tọa độ đỉnh của parabol là:
$(\frac{-b}{2a}, 3-\frac{b^2}{4a})$

$\Rightarrow \frac{-b}{2a}=-2; 3-\frac{b^2}{4a}=19$

$\Rightarrow a=-4; b=-16$