Tham khảo:1)chứng minh rằng n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ 
2)Chứng minh rằng với n thuộc N thì: 
9n^3+9n^2+3n-16 ko chia hết cho 343 
3)Chứng minh rằng 20^n+16^n-3^n-1 chia hết cho 323 với n tự nhiên chẵn

1)chứng minh rằng n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ. 
A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1) 
vì n lẻ nên: 
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2 
=> A chia hết cho 16(*) 
mặt khác: 
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1) 
xét các trường hợp: 
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 (**) 
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau). 

2)Chứng minh rằng với n thuộc N thì: 
B = 9n^3+9n^2+3n-16 ko chia hết cho 343 = 7^3 

B = 9n^3+9n^2+3n-16 
=> 3B = 27n^3 + 27n^2 + 9n - 48 = 27n^3 + 27n^2 + 9n +1 - 49 
= (3n +1)^3 - 49 
nếu: (3n+1) chia hết cho 7 => (3n+1)^3 chia hết cho 7^3 => 3B Ko chia hết cho 7^3 (dư -49) 
=> B Ko chia hết cho 7^3 = 343 ( vì nếu B chia hết cho 7^3 thì 3B chia hết cho 7^3 vô lý) 


3)Chứng minh rằng 20^n+16^n-3^n-1 chia hết cho 323 với n tự nhiên chẵn: 
hằng đẳng thức: 
a^2k - b^2k = (a+b)[(a^(2k-1) - a^(2k-2).b + ... - b^(2k-1)] 
n = 2k ta có: 
C = 20^n+16^n-3^n-1 = 20^2k + 16^2k - 3^2k - 1 = (20^2k - 1) + (16^2k - 3^2k) 
= 19.A + 19.B 
=> C chia hết cho 19 
mặt khác: 
C = 20^n+16^n-3^n-1 = 20^2k + 16^2k - 3^2k - 1 = (20^2k - 3^2k) + (16^2k - 1) 
= 17M + 17N 
=> C chia hết cho 17 
=> C chia hết cho 17.19 = 323.

a: Gọi d=ƯCLN(16n+5;6n+2)

=>16n+5 và 6n+2 chia hết cho d

=>48n+15-48n-16 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=>d=1

=>ĐPCM

c: Gọi d=ƯCLN(2n+3;4n+8)

=>4n+8-4n-6 chia hết cho d

=>2 chia hết cho d

mà 2n+3 lẻ

nên d=1

=>ĐPCM

1.

\(a,=x^4-3x^3+5x^3-15x^2-x^2+3x-5x+15\\ =\left(x-3\right)\left(x^3+5x^2-x-5\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x^2-1\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+5\right)\\ b,=2x^4-2x^3+x^3-x^2-8x^2+8x+5x-5\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+x^2-8x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+5x^2-4x^2-10x+2x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x^2-2x+1\right)\\ =\left(x-1\right)^3\left(2x+5\right)\)

2.

\(a,=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)

Suy ra đpcm

Bổ sung điều kiện câu b: n chẵn và n>4

\(b,=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]\\ =\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

Với n chẵn và \(n>4\) thì đây là tích 4 số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho \(2\cdot4\cdot6\cdot8=384\)

Bài 1: 

c: \(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Gọi d = ƯCLN(n + 5; n + 6) (d \(\in\) N*)

\(\Rightarrow\begin{cases}n+5⋮d\\n+6⋮d\end{cases}\)\(\Rightarrow\left(n+6\right)-\left(n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Mà \(d\in\) N* => d = 1

=> ƯCLN(n + 5; n + 6) = 1

=> n + 5 và n + 6 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

c) Gọi d = ƯCLN(16n + 5; 24n + 7) (d \(\in\) N*)

\(\Rightarrow\begin{cases}16n+5⋮d\\24n+7⋮d\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}3.\left(16n+5\right)⋮d\\2.\left(24n+7\right)⋮d\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}48n+15⋮d\\48n+14⋮d\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(48n+15\right)-\left(48n+14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Mà d \(\in\) N* => d = 1

=> ƯCLN(16n + 5; 24n + 7) = 1

=> 16n + 5 và 24n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

-2n và 2n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp, mà 2 số tự nhiên liên tiếp ko bao giờ chia hết cho nhau cả.

-

a: =>1+2+3+...+x=1278

=>x(x+1)-2556=0

\(\Leftrightarrow x^2+x-2556=0\)

\(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot\left(-2556\right)=10225>0\)

=>Sai đề rồi bạn vì căn bậc hai của 10225 ko phải là số nguyên

b: \(\Leftrightarrow1+3+5+...+2n-1=225\)

=>\(\dfrac{2n^2}{2}=225\)

hay n=15