\(B=3\left(1+3\right)+...+3^{99}\left(1+3\right)=4\left(3+...+3^{99}\right)⋮2\)

B=3(1+3)+...+399(1+3)=4(3+...+399)⋮2

1)

a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)

Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)

\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)

\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)

Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)

1) Ta có : 11a + 22b + 33c

      = 11a + 11.2b + 11.3c

      = 11.(a + 2b + 3c) \(⋮\)11

=> 11a + 22b + 33c \(⋮\)11

2) 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

= (2 + 2²) + 2².(2 + 2²) + ... + 2⁹⁸.(2 + 2²)

= 6 + 2².6 + ... + 2⁹⁸.6

= 6.(1 + 2² + .. + 2⁹⁸)

= 2.3.(1 + 2² + ... + 2⁹⁸) \(⋮\)3

=> 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ \(⋮\)3

3) Ta có:  abcabc = abc000 + abc

 = abc x 1000 + abc 

 = abc x (1000 + 1)

= abc x 1001 

= abc .7. 13.11 (1)

= abc . 7 . 13 . 11 \(⋮\)7 

=> abcabc \(⋮\)7

=> Từ (1) ta có : abcabc = abc x 7.11.13 \(⋮\)11

     => abcabc \(⋮\)11

=> Từ (1) ta có :  abcabc = abc . 7.11.13 \(⋮\)           13

    => => abcabc \(⋮\)13

1

.\(11a+22b+33c=11\left(a+2b+3c\right)⋮11\) 

\(\Rightarrow11a+22b+33c⋮11\left(đpcm\right)\) 

hc tốt

TA CÓ:

A=3⁰+3+3²+3³+........+3¹¹

(3⁰+3+3²+3³)+....+(3⁸+3⁹+3¹⁰+3¹¹)

3(0+1+3+3²)+......+3⁸(0+1+3+3²) 

3.13+....+3⁸.13 cHIA HẾT CHO 13 NÊN A CHIA HẾT CHO 13( đpcm)

bai 1 ta co ab-ba=10a+b-10b-b=(10a-a)-(10b-b)=9a-9b=9.(a-b). vi 9.(a-b) chia het cho 9 suy ra (ab-ba) chia het cho 9 voi a>b (dpcm)                                                                                                                                                                                                                       

ban tran xuan quynh tra loi dung roi

ko biét

B1 a, a^3 - a = a.(a^2-1) = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3 

b, a^7-a = a.(a^6-1) = a.(a^3-1).(a^3+1)

Ta thấy số lập phương khi chia 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6

+Nếu a^3 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 1 thì a^3-1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 6 => a^3+1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

Vậy a^7-a chia hết cho 7

b,  a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

b, với m lẻ từ hằng đẳng thức đáng nhớ ta có 
a^m+b^m=(a+b) {a^(m-1)-[a^(m-2)]b+...-a.[b^(m-2)]+b^(m... chia hết cho a+b 
 

chắc bạn chép sai đầu bài ý a rồi , mình sửa lại nhé

Đặt A=\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

Tổng A có :(100-1):1+1=100(số hạng)

=>A=\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

A=\(\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

(có \(\dfrac{100}{5}=20\) nhóm , mỗi nhóm có 5 số hạng)

A=\(2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

A=\(2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)

A=\(31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)

Sửa đề câu a tí nhé:

Chứng tỏ \(\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)chia hết cho 31

Giải:

Đặt \(S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right).2^{96}\)

\(=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)

\(=31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)\)

\(\Rightarrow S⋮31\)

b.

Đặt \(A=\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{11}\right)\)

\(A=\left(1+3+3^2+3^3+...+3^8.\left(1+3+3^2+3^3\right)\right)\)

\(A=40+...+3^8.40\)

\(A=40.\left(1+...+3^8\right)⋮40\)

Vậy \(A\) chia hết cho \(40\)

1/a)Ta có: A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2²) + (2³+2⁴) + ... + (2⁵⁹ + 5⁶⁰)

= (2.1 + 2.2) + (2³.1 + 2³.2) + ... + (2⁵⁹.1 + 2⁵⁹.2)

= 2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁵⁹.(1 + 2)

= 2.3 + 2³.3 + ... + 2⁵⁹.3

= 3.(2 + 2³ + ... + 2⁵⁹) \(⋮\) 3

Vậy A \(⋮\) 3.

b) Tương tự: gộp 3.

c) gộp 4

Bài 1:

a, A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) + .... + ( 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

= 2 . ( 1 + 2 ) + 2³ . ( 1 + 2 ) + ... + 2⁵⁹ . ( 1 + 2 )

= 2 . 3 + 2³ . 3 + ... + 2⁵⁹ . 3

= 3 . ( 2 + 2³ + ... + 2⁵⁹ )

Vậy A chia hết cho 3

b,A = ( 2 + 2² + 2³ ) + ( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ ) + ... + ( 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

= 2 . ( 1 + 2 + 2² ) + 2⁴ . ( 1 + 2 + 2² ) + ... + 2⁵⁸ . ( 1 + 2 + 2²)

= 2. 7 + 2⁴ . 7 + ... + 2⁵⁸ . 7

= 7 . ( 2 + 2⁴ + ... + 2⁵⁸ )

Vậy A chia hết cho 7

c, Ta có:

A= ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ............ + ( 2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

= 2 . ( 1 + 2 + 2² + 2³ ) + ............ + 2⁵⁷ . ( 1 + 2 + 2² + 2³ )

= 2. 15 + ............ + 2⁵⁷ . 15

= 15 . ( 2 + ...............+ 2⁵⁷ )

Vậy A chia hết cho 15

Bài 1:

a, A có 60 số hạng, chia A thành 30 cặp như sau:

\(A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{59}\left(1+2\right)\)

\(A=2.3+2^3.3+...+2^{59}.3\)

\(A=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

b, Chia A thành 20 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng như sau:

\(A=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^3\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2.7+2^4.7+...+2^{58}.7\)

\(A=7.\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\left(đpcm\right)\)

c, Chia A thành 15 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau:

\(A=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{57}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(A=2.15+2^5.15+...+2^{57}.15\)

\(A=15\left(2+2^5+...+2^{57}\right)⋮15\left(đpcm\right)\)