a) Dãy số bị chặn dưới vì u_n = 2n² -1 ≥ 1 với mọi n ε N^* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n² -1 > M <=> n > . tức là luôn tồn tại n ≥ + 1 để 2 - 1 > M. b) Dễ thấy u_n > 0 với mọi n ε N^* Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n² ≥ 1 và 2n ≥ 2. Do đó n(n + 2) = n² + 2n ≥ 3, suy ra . Vậy dãy số bị chặn 0 < u_n với mọi n ε N^* c) Vì n ≥ 1 nên 2n² - 1 > 0, suy ra > 0 Mặt khác n² ≥ 1 nên 2n² ≥ 2 hay 2n² - 1≥ 1, suy ra ≤ 1. Vậy 0 < u_n ≤ 1, với mọi n ε N^* , tức dãy số bị chặn. d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + ), với mọi n. Do đó: -√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N^* Vậy -√2 < u_n < √2, với mọi n ε N^* .

a:

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1;n\in Z^+\)

Khi n chẵn thì \(\left(-1\right)^n=1\)

=>\(u_n=cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

=>\(0< =u_n< =1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [0;1]

Khi n lẻ thì \(\left(-1\right)^n=-1\)

=>\(u_n=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1\)

=>\(0>=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)>=-1\)

=>\(0>=u_n>=-1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [-1;0]

 

b: \(-1< =\dfrac{1}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =\dfrac{\sqrt{2}}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =t_n< =0\)

Vậy: Dãy số bị chặn ở khoảng \(\left[-\sqrt{2};0\right]\)

a: \(u_{n+1}-u_n\)

\(=2-3\left(n+1\right)-2+3n\)

=-3n-3+3n

=-3<0

=>Đây là dãy giảm

b: \(u_{n+1}-u_n\)

\(=\dfrac{n+2}{n+1}-\dfrac{n+1}{n}\)

\(=\dfrac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}< 0\)

=>Đây là dãy giảm

c: \(u_{n+1}-u_n==\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=\dfrac{n+1-n-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< 0\)

=>Đây là dãy giảm

d: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2>1\)

=>Đây là dãy tăng

a) Xét hiệu u_n+1 - u_n = - 2 - ( - 2) = - .

Vì < nên u_n+1 - u_n = - < 0 với mọi n ε N^{* .}

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu u_n+1 - u_n =

=

Vậy u_n+1 > u_n với mọi n ε N^* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì u_n > 0 với mọi n ε N^* ) rồi so sánh với 1.

Ta có với mọi n ε N^*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm

a) Dãy số un = 2n - 1: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 2.

b) Dãy số un = 3 - 2n: Đây là một dãy số giảm với hệ số giảm là 2.

c) Dãy số un = n + 2n: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 3.

d) Dãy số un = 2n: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 2.

e) Dãy số un = 3n: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 3.

a: \(u_{n+1}-u_n=2\left(n+1\right)-1-2n+1\)

\(=2n+2-2n=2>0\)

=>Đây là dãy tăng

b: \(u_{n+1}-u_n=-2\left(n+1\right)+3+2n-3=-2n-2+2n=-2< 0\)

=>Đây là dãy giảm

d: \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{n+1}-\dfrac{2}{n}=\dfrac{2n-2n-2}{n\left(n+1\right)}=-\dfrac{2}{n\left(n+1\right)}< 0\)

=>Đây là dãy giảm

e: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3^{n+1}}{3^n}=3>1\)

=>Đây là dãy tăng