Lời giải:

BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)

Đặt \(a^2+ab+ac=t\)

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)

Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm

Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\) và \(bc=0\)

Giả sử \(a\ge b\ge c\ge0\)

a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(b-c)

=a(a-b)[(a-b)+(b-c)]-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)

=a(a-b)^2 +a(a-b)(b-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)

=a(a-b)^1 +(b-c)(a-b)^2 +c(a-c)(b-c) \(\ge0\)

Vậy .............

hok tốt

a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )

\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )

Biến đổi VP 

\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)

\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )

b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )

Biến đổi VT của ( * ) ta có :

\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)

\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )

\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)

\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng 

=> Hằng đẳng thức đúng 

No Name:Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3

Do a,b,c bình đẳng ta giả sử \(a\ge b\ge c\)

Đặt \(a-b=x;b-c=y\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(c\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2\left(x+2y\right)\ge0\left(true\right)\)

Vậy BĐT được chứng minh

WLOG \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0=VP\)

Kiểu khác

WLOG \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

\(\frac{\left(4a^2+4b^2-5c^2+8ab-bc-ca\right)\left(a-b\right)^2+c\left(a+b-c\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4ca+4bc-5c^2+c}\ge0\)

n là tham số hay sao ah? 

Anh quên mất  \(n\ge0\)

Với n = 1 đó là một kết quả rất quen thuộc:))  thôi em vào bài luôn, ko thì bị nhiều bạn bảo "nói linh tinh":v Em thử, ko chắc đâu nha, a thử check xem.

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 trong 3 số a - n; b - n; c - n đồng dấu. Giả sử 2 số đó là a -n và b - n.

Thế thì \(\left(a-n\right)\left(b-n\right)\ge0\Rightarrow2abc\ge2acn+2bcn-2cn^2\)

Suy ra  \(LHS\ge n\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2acn+2bcn-2cn^2\right)+n^3\)

\(=n\left(a^2+b^2\right)+nc^2+n^3-2cn^2+2n\left(ac+bc\right)\)

\(\ge2n\left(ab+bc+ca\right)+nc^2+n^3-2cn^2\)

\(=2n\left(ab+bc+ca\right)+n\left(c^2+n^2-2cn\right)\)

\(=2n\left(ab+bc+ca\right)+n\left(c-n\right)^2\ge2n\left(ab+bc+ca\right)=RHS\)

Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=n\)

\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)

VT : (a + b + c)² + a² + b² + c²

= a² + b² + c² + 2ab +2bc + 2ac + a² + b² + c²

= ( a² + 2ab + b² ) + (b² + 2bc + c²) + ( a² + 2ac + c²)

= (a + b)² + (b + c)² + (a + c)² = VP

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)

a) \(x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2xy=\left(x+y\right)^2-2xy\)

b) \(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^2-\left(a^2-b^2\right)=a^2+2ab+b^2-a^2+b^2\)

\(=2ab+2b^2=2b\left(a+b\right)\)

c)\(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2=\left(a+b-a+b\right)\left(a+b+a-b\right)\)

\(=2b.2a=4ab\) 

a: \(\left(x+y\right)^2-2xy\)

\(=x^2+2xy+y^2-2xy\)

\(=x^2+y^2\)

b: \(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a+b-a+b\right)\)

\(=2b\left(a+b\right)\)

c: \(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)

\(=\left(a+b-a+b\right)\left(a+b+a-b\right)\)

\(=4ab\)