Pt hoành độ giao điểm (P) và (d):

\(\dfrac{x^2}{2}=mx+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x^2-2mx-1=0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M+x_N=2m\\x_Mx_N=-1\end{matrix}\right.\)

Gọi I là trung điểm MN \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_M+x_N}{2}\\y_I=\dfrac{y_M+y_N}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{2m}{2}=m\\y_I=\dfrac{m.x_M+\dfrac{1}{2}+m.x_N+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{m\left(x_M+x_N\right)+1}{2}=m^2+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_I=x_I^2+\dfrac{1}{2}\)

Hay tập hợp I là parabol có pt: \(y=x^2+\dfrac{1}{2}\)

Bài của bạn hay, nhưng bạn viết phần 2/ ẩu quá!.

Câu 1.  Vì O là tâm đường tròn qua hai điểm A,B nên \(OA=OB\to O\) nằm trên trung trực của đoạn thẳng AB cố định. Đảo lại với mỗi điểm O nằm trên trung trực AB, ta vẽ đường tròn tâm O bán kính OA thì đường tròn này đi qua AB.

Câu 2.  Vì IJ  là đường kính của đường tròn (O) nên \(JM\perp CI,IN\perp CJ,CE\perp JI\)  do đó ba đường thẳng \(JM,CE,IN\)  là ba đường cao của tam giác \(CJI\to\) ba đường này đồng quy tại trực tâm tam giác \(CJI.\) Vậy \(D\)  nằm trên đường thẳng AB.

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại M với đường thẳng AB. T

a có \(\angle FMC=90^{\circ}-\angle OMI=90^{\circ}-\angle OIM=\angle ECI=\angle MCF\to\Delta FMC\)  cân ở F. Mà tam giác MCD vuông ở M nên \(\angle FMD=\angle FDM\to\Delta DFM\) cân ở F. Thành thử \(F\) là trung điểm CD. Vậy tiếp tuyến ở M cắt CD tại trung điểm của CD.  Tương tự chứng minh được tiếp tuyến tại  N của (O) cũng đi qua trung điểm của CD. Vậy hai tiếp tuyến tại M,N cắt nhau ở tại trung điểm CD.

pt hoành độ giao điểm của (p) và (d) là: 

x²= 2(m+1)x -3m+2 ⇔ x² -2(m+1)x +3m-2 =0(1)

a/ Thay m=3 vào pt (1) ta được: x²-8x+7=0(1')

pt (1') có: a+b+c=1-8+7=0

⇒x₁=1; x₂=\(\dfrac{c}{a}\)=7.

b/ pt (1) có:

Δ'= [-(m+1)]²- (3m-2)

= m²+2m+1-3m+2

=m²-m+3

=[(m-2.\(\dfrac{1}{2}\).m+\(\dfrac{1}{4}\))-\(\dfrac{1}{4}\)+3]

=(m-\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{11}{4}\)≥\(\dfrac{11}{4}\)>0 với mọi m

⇒pt(1)luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

⇒(p) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của Mafia - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath