a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Ta có:

P = a + b + c ≤ a + b + a + b = 2(a + b) ≤ 2(-1) = -2

Ta cũng có:

P = a + b + c ≤ a + b + c - 2abc ≥ a + b + c - 2(-1)(-1)(-1) = -3

Vậy GTNN của P = -3 và GTLN của P = -2.

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)

\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)

Lại có:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)

\(P_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(a+b+c=0\)

Mk ms tìm được GTNN thôi!

Ta có: A = a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab) = (a + b)(1 - ab)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm a² và b² ta có:

a² + b² \(\ge\) 2ab

\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 2ab

\(\Leftrightarrow\) 1 - 2ab \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) 1 - ab \(\ge\) ab

\(\Rightarrow\) A \(\ge\) ab(a + b)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = \(\sqrt{0,5}\)

\(\Rightarrow\) A \(\ge\) 0,5 . 2\(\sqrt{0,5}\) = \(\sqrt{0,5}\)

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

\(a^2+b^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)

\(A_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(0;1\right);\left(1;0\right)\)

\(a^3+a^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}a^2\)

\(b^3+b^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}b^2\)

Cộng vế:

\(2\left(a^3+b^3\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có: A = a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab) = (a + b)(1 - ab)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số (a + b)² và 1 ko âm ta có:

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+1}{2}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2+2ab+1}{2}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2+2ab}{2}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\) 1 + ab \(\ge\) a + b

\(\Leftrightarrow\) (1 - ab)(1 + ab) \(\ge\) A

\(\Leftrightarrow\) 1 - a²b² \(\ge\) A

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) ab = 1; a² + b² = 1

Khi đó: A \(\le\) 0

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

Ta có:

Xét hàm số

 Hàm số f t  đồng biến trên 0 ; + ∞

 ta có:

Chọn: D

Đáp án B

Ta có: log 5 4 a + 2 b + 5 a + b = a + 3 b − 4  

⇔ log 5 4 a + 2 b + 5 + 4 a + 2 b + 5 = log 5 5 a + 5 b + 5 a + 5 b  

Xét hàm số f t = log 5 t + t t > 0 ⇒ f t  đồng biến trên 0 ; + ∞  

Do đó f 4 a + 2 b + 5 = f 5 a + 5 b ⇔ 4 a + 2 b + 5 = 5 a + 5 b  

⇔ a + 3 b = 5 ⇒ T = 5 − 3 b 2 + b 2 = 10 b 2 − 30 b + 25 = 10 b − 3 2 2 + 5 2 ≥ 5 2

Đề là tìm GTNN hay GTLN hả bạn?