Mọi người ơi trả lời hộ mình câu 3 nhé. cám ơn nhiều

1/ Ta có: \(1999^{30}\equiv\left(1999^2\right)^{15}\equiv8^{15}\equiv\left(8^3\right)^5\equiv16^5\equiv1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow\left(1999^{30}\right)^{66}\equiv1\left(mod31\right)\Leftrightarrow1999^{1980}\equiv1\left(mod31\right)\) (1)

Lại có: \(1999^{21}\equiv\left(1999^2\right)^{10}.1999\equiv8^{10}.15\equiv\left(8^5\right)^2.15\equiv15\left(mod31\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1999^{1980}.1999^{21}\equiv15\Leftrightarrow1999^{2001}\equiv15\left(mod31\right)\)

Hay \(1999^{2001}\) chia cho 31 có số dư là 15.

P/s: Cả năm nay không làm dạng này nên không chắc nha! Lục nghề mất r

2) Khó đây, không chắc đâu. Mình thử dùng quy nạp:

Trước hết ta chứng minh nó với n = 1. Tức là chứng minh \(1924^{2003^{2004}}+1920⋮124\)

\(\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}+1920\equiv0\left(mod124\right)\)

Tách: 124 =4 . 31

Ta có: \(1924\equiv0\left(mod4\right)\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}\equiv0\left(mod4\right)\)

Lại có: \(1924^{30}\equiv1\left(mod31\right)\) (bạn tự chứng minh được mà:D)

Mà: \(2003^{2004}\equiv23^{2004}\equiv19^{1002}\equiv\left(19^2\right)^{501}\equiv1\left(mod30\right)\)

Đặt \(2003^{2004}=30k+1\). Do đó \(1924^{2003^{2004}}=1924^{30k+1}=\left(1924^{30}\right)^k.1924\equiv1.1924\equiv2\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2\equiv0\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2-31.2\equiv0\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod31\right)\)

Mà \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4\right)\)

Suy ra \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4.31=124\right)\)

Do đó: \(1924^{2003^{2004}}+1920\equiv64+1920\equiv0\left(mod124\right)\)

Vậy nó đúng trong trường hợp n = 1. Ta giả sử nó đúng đến n = k.

Tức là: \(1924^{2003^{2004^k}}+1920⋮124\)

Ta đi chứng minh: \(1924^{2003^{2004^{k+1}}}+1920⋮124\)

Tới đây bí cmnr:(

b) Tách 124= 4.31

- Tìm dư khi chia 1924^2003^2004^n + 1920 cho 4

Có 1924 đồng dư 0 (mod4)

=> 1924^2003^2004^n đồng dư 0 (mod4)

1920 đồng dư 0 (mod4)

<=> 1924^2003^2004^n + 1920 đồng dư 0 (mod4)

- Tìm dư trong phép chia 1924^2003^2004^n + 1920 cho 31

*) Tìm dư: 1924^2003^2004^n cho 31

 Có 1924 đồng dư 2 (mod31)

Mà 2^5 đồng dư 1 (mod31)

=> 1924^5 đồng dư 1 (mod 31)

- Ta phải tìm dư trong phép chia 2003^2004^n cho 5

   2003 đồng dư 3 (mod5)

Mà 3^4 đồng dư 1 (mod5)

=> 2003^4 đồng dư 1 (mod 5)

- Ta phải tìm dư trong phép chia 2004^n cho 4

2004 đồng dư 0 (mod 4)

=> 2004^ n đồng dư 0 (mod4)

=> 2004^n = 4k

=> 2003^2004^n = 2003^4k đồng dư 1 (mod 5)

=> 2003^2004^n = 5k + 1

=> 1924^2003^2004^n = 1924^5k+1 = 1924^5k . 1924 đồng dư 2 (mod31)

1920 đồng dư 29 (mod31)

=> 1924^2003^2004^n + 1929 đồng dư 2 + 29 đồng dư 31 đồng dư 0 (mod31)

- Vì    1924^2003^2004^n + 1920 chia hết cho 4

        và 1924^2003^2004^n + 1920 chia hết cho 31

=> 1924^2003^2004^n + 1920 chia hết cho 4.31 chia hết cho 124

Vậy....

Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)

\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)

Ta có : 2n là số chẵn

\(2012^{2013}\) là số chẵn

\(2013^{2012}\) là số lẻ

\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ

Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ

=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )

Cm: \(\forall\)\(x\in\) N ta có: (n + 45).(4n² -1) ⋮ 3

Trong biểu thức không hề chứa \(x\) em nhá

Biểu thức chứa \(x\) là biểu thức nào thế em?

Bài này em nghĩ là phải sửa thành với mọi \(n\inℕ\) ạ.

Đặt \(P=\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)\)

Với \(n⋮3\) thì hiển nhiên \(n+45⋮3\), suy ra \(P⋮3\) 

Với \(n⋮̸3\) thì \(n^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(4n^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(4n^2-1⋮3\), suy ra \(P⋮3\)

Vậy, với mọi \(n\inℕ\) thì \(\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)⋮3\) (đpcm)