a, Xét tứ giác HFEB có:

\(\widehat{FHB}+\widehat{FEB}=90+90=180^0\) 

--> Tứ giác HFEB nội tiếp

b, Dùng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông

\(AC^2=AH.AB\) 

Mà \(\Delta AHF=\Delta AEB\left(tự.chứng.minh\right)\left(g-g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AH.AB=AE.AF\\ \Rightarrow AC^2=AE.AF\) 

c, Ta có AICK là tứ giác nội tiếp \(\left(\widehat{ACK}+\widehat{IKA}=180^0\right)\) 

\(\widehat{IKb}+\widehat{IEB}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{AIK}+\widehat{EIK}=\widehat{EIK}+\widehat{EBA}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{EBA}\\ \Rightarrow\widehat{ACK}=\widehat{EBA}\\ Tương.tự.ta.có:\widehat{CAO}=\widehat{KEB}\\ \Rightarrow\Delta ACK=\Delta EBK\left(g-g\right)\) 

\(\rightarrow\dfrac{AC}{EB}=\dfrac{CK}{KB}=\dfrac{AK}{EK}\Rightarrow EK.CK=AK.KB\\ =\dfrac{\left(EK+KC\right)^2}{4}=\dfrac{\left(AK+KB\right)^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}\\ \Rightarrow EK+KC=AB\\ Dấu"="\Leftrightarrow\\ EA=KC\Rightarrow\Delta CKE.cân.tại.K\\ \Rightarrow Sđ\widehat{BE}=Sđ\widehat{AC}\\ \Rightarrow E\in\widehat{BC}.sao.cho.Sđ\widehat{BE}=Sđ\widehat{AC}.hay.BE=AC\)

1. Xét tam giác AEB có: AB là đường kính \(\Rightarrow\Delta AEB\) vuông tại E

Xét tứ giác HFEB có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FHB}=90^o\\\widehat{FEB}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{FHB}+\widehat{FEB}=180^o\) 

\(\Rightarrow\)Tứ giác HFEB nội tiếp đường tròn (đpcm)

2. Xét tam giác ABC có: đường kính AB \(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại C

\(\Rightarrow AC^2=AH.AB\)

Mà \(\Delta AHF\sim\Delta AEB\) \(\Rightarrow AC^2=AF.AE\) (đpcm)

3. Câu này mình chịu @@

1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\)

\(\Rightarrow\angle EHB+\angle EMB=90+90=180\Rightarrow EMBH\); nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\)

\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C có \(CH\bot AB\Rightarrow AC^2=AH.AB\) (hệ thức lượng)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta ABM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHE=\angle AMB=90\\\angle MABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta ABM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AH}{AM}\Rightarrow AE.AM=AH.AB\)

\(\Rightarrow AE.AM=AC^2\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AMC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\\\angle MACchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta AMC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow AE.CM=AC.EC\)

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do  H E ∥ B C ⊥ H A  ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có A P H ^ = A E H ^  (góc nội tiếp)

= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)

⇒ P H ≡ P B

2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^  

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra  E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B

Tương tự F I ∥ H C ;   E F ∥ B C ⇒ Δ I E F   v à   Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

giúp mình với

Bạn xem lại đề, AD đâu có bằng AB đâu mà góc AEB= góc ABD