Lời giải:

\(y'=\frac{2}{3}x+m\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow m\geq -\frac{2}{3}x, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m\geq \max (\frac{-2}{3}x), \forall x\in\mathbb{R}\)

Vì $\frac{-2}{3}x$ không có max với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên không tồn tại $m$

- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)

- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)

\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:

ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)

Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương

\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)

Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)

\(y'=-x^2-2\left(m-2\right)x+m-2\)

Hàm nghịch biến trên TXĐ khi và chỉ khi \(y'\le0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1< 0\left(đúng\right)\\\Delta'=\left(m-2\right)^2+m-2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le m\le2\)