\(\left(2x+3\right)^{10}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{10}x^{10}\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(5^{10}=a_0+a_1+a_2+...+a_{10}\)

Thay \(x=-1\) vào ta được:

\(\left(-2+3\right)^{10}=a_0-a_1+...+a_{10}=1^{10}=1\)

a)

i) Các số hạng của khai triển trên là: \({a^3},3{a^2}b,3a{b^2},{b^3}\)

ii) Các hệ số của khai triển trên là: \(1;3;3;1\)

iii) Tính các giá trị \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) ta được

\(C_3^0 = 1,C_3^1 = 3,C_3^2 = 3,C_3^3 = 1\)

Các giá trị của \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) bằng với các hệ số của khai triển đã cho

b)

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^4} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\end{array}\)

Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) ta được

\(C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1\)

Vậy ta được khai triển là:

\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

c)

Dự đoán công thức \({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Tính lại ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^5} = {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^3} = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)\left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\end{array}\)

Vậy công thức dự đoán là chính xác.

Xài cái này gõ bài đi bạn, thề như này hiểu chết liền á :(

a5 là số hạng thứ 6 trg khai triển

-số hạng t6 trg khai triển <=> T_k+1=6 <=>k+1=6 => k=5

vậy a5= C⁵₆4x⁶

\(\left(1+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\)

Hệ số của 2 số hạng liên tiếp là \(C_n^k\) và \(C_n^{k+1}\)

\(\Rightarrow7C_n^k=5C_n^{k+1}\Leftrightarrow\frac{7n!}{k!.\left(n-k\right)!}=\frac{5n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{n-k}=\frac{5}{k+1}\Leftrightarrow7k+7=5n-5k\)

\(\Leftrightarrow5n=12k+7\Rightarrow n=\frac{12k+7}{5}\)

\(\Rightarrow n_{min}=11\) khi \(k=4\)

2/ \(\left(x-2\right)^{100}=\sum\limits^{100}_{k=0}C_{100}^kx^k.\left(-2\right)^{100-k}\)

\(a_{97}\) là hệ số của \(x^{97}\Rightarrow k=97\)

Hệ số là \(C_{100}^{97}.\left(-2\right)^3\)

Xét khai triển

\(\left(x+1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1x+...+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(2^{2n+1}=C^0_{2n+1}+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}-2=C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Leftrightarrow2^{10}-1=2^{2n+1}-2\Rightarrow2^{2n+1}=2^{10}+1\)

Không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu bài toán (bạn xem lại đề bài)

\(\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1\)

\(=x+\sum\limits^n_{k=2}kx\left(1+x\right)...\left(1+\left(k-1\right)x\right)\)

\(=x+\sum\limits^n_{k=2}kx\left[\left(1+x\right)...\left(1+\left(k-1\right)x\right)-1+1\right]\)

\(=\sum\limits^n_{k=1}kx+\sum\limits^n_{k=2}kx\left[\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+\left(k-1\right)x\right)-1\right]\)

\(=\sum\limits^n_{k=1}kx+\sum\limits^n_{k=2}kx\left(\sum\limits^{k-1}_{i=1}ix\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1-\left(i-1\right)x\right)\right)\)

Do đó tổng của các hệ số chứa \(x^2\) là: \(\sum\limits^n_{k=2}k\left(\sum\limits^{k-1}_{i=1}i\right)\)

Hay \(a_2=\sum\limits^n_{k=2}k\left(\frac{k\left(k-1\right)}{2}\right)=\sum\limits^n_{k=2}\frac{k^2\left(k-1\right)}{2}\)

Do đó:

\(S=1+\sum\limits^{2019}_{k=2}\frac{k^2\left(k-1\right)}{2}+\sum\limits^{2019}_{k=2}k^2=1+\sum\limits^{2019}_{k=2}\left(\frac{k^2\left(k-1\right)}{2}+k^2\right)\)

\(=1+\sum\limits^{2019}_{k=2}\left(\frac{k^2\left(k+1\right)}{2}\right)\)