Cho hình chóp đều S.ABCD có S A = a 5 , A B = a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB,SC,SD . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP) ?
A. 2 2
B. 1 2
C. 3 2
D. 15 6
Bài 1: cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD=ABC= 90 độ. Cạnh AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc ( ABCD ), Sa=2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính theo a thể tích khối chóp S.BCNM
Bài 2: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a; SA = a\(\sqrt{2}\) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB,SD. Tính theo a thể tích của khối tứ diện A.MNP
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA=a và SAB= 11 π 24 . Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB,SC,SD lần lượt lấy các điểm M,N,P không trùng với các đỉnh hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng AM+MN+NP+PQ theo a
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a và S A B ⏜ = 11 π 24 . Gọi Q là trung điểm của cạnh SA. Trên các cạnh SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A M + M N + N P + P Q theo a
A. a 2 sin 11 π 24 3
B. a 3 2
C. a 2 4
D. a 3 sin 11 π 12 3
Chọn đáp án B
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên là một tam giác cân tại đỉnh S.
Theo giả thiết ta có
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ bên sao cho khí ghép lại thì A ≡ A '
Suy ra A S A ' ⏜ = 4 . A S B ⏜ = π 3 và ∆ S A A ' đều cạnh SA = a
Khi đó tổng AM + MN + NP + PQ là tổng của các đường gấp khúc.
Tổng này đạt nhỏ nhất bằng AQ nếu xảy ra trường hợp các điểm A, M, N, P, Q thẳng hàng.
Mà ∆ S A A ' đều có Q là trung điểm SA nên A Q = S A 3 2 = a 3 2
Vậy m i n A M + M N + N P + P Q = a 3 2
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Chứng minh MN // (ABCD). b) Chứng minh SB // (OMN). c) Chứng minh (OMN) // (SBC). d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
a: Xét ΔSAD có
M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD
=>MN là đường trung bình của ΔSAD
=>MN//AD
Ta có: MN//AD
AD\(\subset\)(ABCD)
MN không nằm trong mp(ABCD)
Do đó: MN//(ABCD)
b: Xét ΔDSB có
O,N lần lượt là trung điểm của DB,DS
=>ON là đường trung bình của ΔDSB
=>ON//SB và \(ON=\dfrac{SB}{2}\)
Ta có: ON//SB
ON\(\subset\)(OMN)
SB không thuộc mp(OMN)
Do đó: SB//(OMN)
c: Xét ΔASC có
O,M lần lượt là trung điểm của AC,AS
=>OM là đường trung bình của ΔASC
=>OM//SC
Ta có: OM//SC
OM\(\subset\)(OMN)
SC không nằm trong mp(OMN)
Do đó: SC//(OMN)
Ta có: SB//(OMN)
SC//(OMN)
SB,SC cùng thuộc mp(SBC)
Do đó: (SBC)//(OMN)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, tam giác SBD đều cạnh a. Gọi M, P là hai điểm lần lượt di động trên cạnh SA, SC (không trùng với S) sao cho SA/SM + SC/ SP = 3, (a) là mặt phẳng di động chứa M, P cắt SB, SD lần lượt tại N, Q. Diện tích tam giác SNQ đạt giá trị nhỏ nhất là
Bài này ứng dụng 1 phần cách giải của bài này:
Gọi O' là giao điểm của SO và MP, tương tự như bài trên, ta có 3 đường thẳng SO, MP, NQ đồng quy tại O'
Đồng thời sử dụng diện tích tam giác, ta cũng chứng minh được:
\(3=\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{2SO}{SO'}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\)
Áp dụng BĐT Cô-si: \(3=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\ge2\sqrt{\dfrac{SB.SD}{SN.SQ}}\Rightarrow SN.SQ\ge\dfrac{4}{9}.SB.SD\)
Theo bổ đề về diện tích tam giác chứng minh ở đầu:
\(\dfrac{S_{SNQ}}{S_{SBD}}=\dfrac{SN.SQ}{SB.SD}\ge\dfrac{\dfrac{4}{9}SB.SD}{SB.SD}=\dfrac{4}{9}\)
\(\Rightarrow S_{SBD}\ge\dfrac{4}{9}.S_{SBD}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{9}\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có Sa=a và S A B ⏜ = 11 π 24 . Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB, Sc, SD lần lượt lấy các điểmM, N, P không trùng với các đỉnh hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A M + M N + N P + P Q theo a
A. a 2 4
B. a 3 sin 11 π 12 3
C. a 3 2
D. a 2 sin 11 π 24 3
Đáp án C
Trải khối chóp đều S.ABCD ra mặt phẳng như hình vẽ bên:
Với điểm A=A' và H là trung điểm của AA'
Dễ thấy để A M + M N + N P + P Q nhỏ nhất <=> các điểm A, M, N, P, Q thẳng hàng ⇒ A M + M N + N P + P Q = A Q
Tam giác SAA' có A S A ⏜ = 4 A S B ⏜ = 4 π − 2 11 π 24 = π 3
Mà S A = S A ' ⇒ Δ S A A ' là tam giác đều ⇒ A Q = a 3 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AB=a,SA=b. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên SA,SB,SC,SD. M', N',, P', Q' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (ABCD) Biết MNPQM'N'P'Q' là hình hộp chữ nhật có MN=2MM'.Tính diện tích của MNPQM'N'P'Q'
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng 45 o . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, CD. Thể tích khối tứ diện AMNP là ?
A. a 3 16
B. a 3 24
C. a 3 6
D. a 3 48
Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Gọi H là tâm của đáy khi đó S H ⊥ ( A B C D ) .
Dựng H P ⊥ C D .
Khi đó H P = a 2
Do vậy S A B P = a 2 2 ⇒ V S . A P B = a 3 12
Mặt khác V S . M N P V S . A B P = S M S A . S N S B . S P S P = 1 4
⇒ V S . M N P = a 3 48
Do vậy V A . M N P = V S . M N P = a 3 48 (do d(S;(MNP))=d(A;(MNP))).
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng 45°. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.
A. a 3 48
B. a 3 16
C. a 3 6
D. a 3 24
Đáp án A
Phương pháp:
- Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Tính thể tích khối tứ diện AMNP.
Cách giải: