a) Xét ΔABC có 

BE là đường cao ứng với cạnh AC

CF là đường cao ứng với cạnh AB

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

Suy ra: AH\(\perp\)BC

Xét tứ giác BHCD có 

BH//CD

HC//BD

Do đó: BHCD là hình bình hành

b) Ta có: BHCD là hình bình hành(cmt)

nên Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HD

Ta có: ΔFBC vuông tại F(gt)

mà FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)

nên \(FM=\dfrac{BC}{2}\)(1)

Ta có: ΔEBC vuông tại E(gt)

mà EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)

nên \(EM=\dfrac{BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MF=ME

hay ΔEMF cân tại M(đpcm)

1. 

Câu 1:

a) $CD\perp AC, BH\perp AC$ nên $CD\parallel BH$

Tương tự: $BD\parallel CH$

Tứ giác $BHCD$ có hai cặp cạnh đối song song nhau (BH-CD và BD-CH) nên là hình bình hành

b) 

Áp dụng bổ đề sau: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.

Ta có:

$BO$ là trung tuyến của tgv $ABD$ nên $BO=\frac{AD}{2}$

$CO$ là trung tuyến của tgv $ACD$ nên $CO=\frac{AD}{2}$

$\Rightarrow BO=CO(1)$ 

$OK\parallel AH, AH\perp BC$ nên $OK\perp BC(2)$

Từ $(1);(2)$ ta dễ thấy $\triangle OBK=\triangle OCK$ (ch-cgv)

$\Rightarrow BK=CK$ hay $K$ là trung điểm $BC$

Mặt khác:

$HBDC$ là hình bình hành nên $HD$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường. Mà $K$ là trung điểm $BC$ nên $K$ là trung điểm $HD$

Xét tam giác $AHD$ có $O$ là t. điểm $AD$, $K$ là t. điểm $HD$ nên $OK$ là đường trung bình của tam giác $AHD$ ứng với cạnh $AH$.

$\Rightarrow OK=\frac{AH}{2}=3$ (cm)

Hình câu 1:

Hai bài toán khác nhau thì bạn đặt bài toán 1 là câu 1, bài toán 2 là câu 2 cho dễ phân biệt.

Câu 2:

Gọi $AB=c; BC=a; CA=b$. Áp dụng tính chất đường phân giác thì:

$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow \frac{b}{CD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AD+CD}{CD}=\frac{c+a}{a}$

$\Rightarrow CD=\frac{ab}{a+c}$

Hoàn toàn tương tự:

$BE=\frac{ca}{a+b}$

Xét tam giác $CDB$ có phân giác $CI$. Áp dụng tính chất đường phân giác:

$\frac{ID}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{ab}{a(a+c)}=\frac{b}{a+c}$

$\Rightarrow \frac{BD}{BI}=\frac{a+b+c}{a+c}$

Tương tự với tam giác $BEC$ phân giác $BI$ thì: $\frac{CE}{CI}=\frac{a+b+c}{a+b}$

Thay vô điều kiện $BD.CE=2BI.CI$ thì:

$\frac{BD}{BI}.\frac{CE}{CI}=2$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{(a+c)(a+b)}=2$

$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$ nên theo Pitago đảo thì $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ 

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$

CHÚC EM HỌC TỐT NHÁ

a: Xét tứ giác BHCD có 

BH//CD

BD//CH

DO đó: BHCD là hình bình hành

a: Xét ΔABC có 

BE là đường cao

CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBAC

Suy ra: AH\(\perp\)BC

Xét tứ giác BHCD có 

BH//CD

CH//BD

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: Ta có: BHCD là hình bình hành

nên Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HD

hay M,H,D thẳng hàng

Ta có: ΔEBC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên EM=BC/2(1)

Ta có: ΔFBC vuông tại F

mà FM là đường trung tuyến

nên FM=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra ME=MF

hay ΔEMF cân tại M