Lời giải:

Theo định lý Fermat nhỏ thì: $3^{10}\equiv 1\pmod {11}; 4^{10}\equiv 1\pmod {11}$

$\Rightarrow$:

$3^{2021}=(3^{10})^{202}.3\equiv 3\pmod {11}$

$4^{2021}=(4^{10})^{202}.4\equiv 4\pmod {11}$

$\Rightarrow A=3^{2021}+4^{2021}\equiv 3+4\equiv 7\pmod {11}$

Tức $A$ chia $11$ dư $7$

---------------------------------

Tương tự:

$3^{12}\equiv 1\pmod {13}$

$\Rightarrow 3^{2021}=(3^{12})^{168}.3^5\equiv 3^5\equiv 9\pmod {13}$

Tương tự: $4^{2021}\equiv 4^5\equiv 10\pmod {13}$

$\Rightarrow A\equiv 9+10\equiv 6\pmod {13}$

Vậy $A$ chia $13$ dư $6$

giúp mình với

Ta có : A + 1 = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3²⁰¹⁹ +3 ²⁰²⁰ +  3²⁰²¹ 

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ...+  (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ +  3²⁰²¹) 

=  (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁹(1 + 3 + 3²) 

=  (1 + 3 + 3²)(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁹) 

= 13(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁹) ⋮ 13

=> A + 1 ⋮13 

=> A : 13 dư 12 

Vậy số dư khi A : 13 là 12

Số số hạng của A:

2021 - 1 + 1 = 2021 (số)

Do 2021 chia 3 dư 2 nên ta có thể nhóm các số hạng của A thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng và dư 2 số hạng như sau:

A = 3 + 3² + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ... + (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ + 3²⁰²¹)

= 12 + 3³.(1 + 3 + 3²) + 3⁶.(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 12 + 3³.13 + 3⁶.13 + ... + 3²⁰¹⁹.13

= 12 + 13.(3³ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹⁹)

Do 13.(3³ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹⁹) ⋮ 13

⇒ A = 12 + 13.(3³ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹⁹) chia 13 dư 12

Vậy A chia 13 dư 12

\(+\)Ta thấy A có số số hạng là: \(\left(2021-1\right);1+1=2021\)(số)

\(+\)Ta nhóm \(3\)số hạng liên tiếp vào \(1\)nhóm, ta được: \(2021:3=673\)dư \(2\)số

\(\Rightarrow A=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{2019}+3^{2020}+3^{2021}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(3+3^2\right)+\left(3^3\cdot1+3^3\cdot3+3^3\cdot3^2\right)+...+\left(3^{2019}\cdot1+3^{2019}\cdot3+3^{2019}\cdot3^2\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(3+3^2\right)+3^3\cdot\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2019}\cdot\left(1+3+3^2\right)\)

\(\Rightarrow A=12+3^3\cdot13+...+3^{2019}\cdot13\)

\(\Rightarrow A=12+13\cdot\left(3^3+3^6+3^9+...+^{2019}\right)\)

Vì\(\hept{\begin{cases}12:13=0dư12\\13\cdot\left(3^3+3^6+3^9+...+3^{2019}\right)⋮13\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A:13dư12\)

Vậy \(A:13dư12\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT NHÉ

Ta có A + 1 = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ + 3²⁰²¹ 

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ + 3²⁰²¹)

= (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁹(1 + 3 + 3²)

= (1 + 3 + 3²)(1 + 3³ + ... +  3²⁰¹⁹)

= 13(1 + 3³ + ... +  3²⁰¹⁹) \(⋮\)13

=> A : 13 dư 12

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{2021}\)

\(A=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2019}+3^{2020}+3^{2021}\right)\)

\(A=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{2019}\left(1+3+3^2\right)\)

\(A=3.13+3^4.13+...+3^{2019}.13\)

\(A=13\left(3+3^4+...+3^{2019}\right)\)

\(\Rightarrow A⋮13\)

Hay \(A:13\)k dư

Lời giải:

Đặt $A=1-3+3^2-3^3+...-3^{2021}$

Dễ thấy $3,3^2,3^3,...,3^{2021}$ đều chia hết cho $3$

$1$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow A=1-3+3^2-3^3+...-3^{2021}$ chia $3$ dư $1$.

Lại có:

$A=(1-3+3^2)-(3^3-3^4+3^5)+(3^6-3^7+3^8)-....-(3^{2019}-3^{2020}+3^{2021})$

$=(1-3+3^2)-3^3(1-3+3^2)+3^6(1-3+3^2)-....-3^{2019}(1-3+3^2)$

=(1-3+3^2)(1-3^3+3^6-....-3^{2019})$

$=7(1-3^3+3^6-...-3^{2019})\vdots 7$

Vậy $A$ chia hết cho $7$

Ta có : A + 1 = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3²⁰¹⁹ +3 ²⁰²⁰ +  3²⁰²¹ 

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ...+  (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ +  3²⁰²¹) 

=  (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁹(1 + 3 + 3²) 

=  (1 + 3 + 3²)(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁹) 

= 13(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁹) \(⋮\) 13

=> A + 1 \(⋮\)13 

=> A : 13 dư 12 

Vậy số dư khi A : 13 là 12