4n + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

         = 4.4k + 15k + 15 – 1

         = 4.(4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

         = 4.(4k +15k- 1) – 45k + 18

         = 4. Ak + (- 45k + 18)

Ta có: Ak⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên Ak + 1 ⋮ 9

Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

phương pháp quy nạp toán học
4^n +15n-1 (1)

với n =0 thì 40+15.0−1=0 chia hết 9
tương tự ta đc n=1 => (1)= 18 chia hết 9
............
giả sử (1) đúng với n =k
hay 4k+15k−1 chia hết 9
--- CM bài toán cũng đúng với n=k+1

xét 4k+1+15(k+1)−1

=4.4k+4.15k−4−3.15k+18

=4(4k+15k−1)−9(5k+2)

do 4k+15k−1 chia hết 9 và 9(5k+2) chia hết cho 9

=> 4(4k+15k−1)−9(5k+2) chia hết 9

=> cm đc với n=k+1

vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.

phương pháp quy nạp toán học
4^n +15n-1 (1)

với n =0 thì 40+15.0−1=0 chia hết 9
tương tự ta đc n=1 => (1)= 18 chia hết 9
............
giả sử (1) đúng với n =k
hay 4k+15k−1 chia hết 9
--- CM bài toán cũng đúng với n=k+1

xét 4k+1+15(k+1)−1

=4.4k+4.15k−4−3.15k+18

=4(4k+15k−1)−9(5k+2)

do 4k+15k−1 chia hết 9 và 9(5k+2) chia hết cho 9

=> 4(4k+15k−1)−9(5k+2) chia hết 9

=> cm đc với n=k+1

vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.

phương pháp quy nạp toán học
4^n +15n-1 (1)

với n =0 thì 40+15.0−1=0 chia hết 9
tương tự ta đc n=1 => (1)= 18 chia hết 9
............
giả sử (1) đúng với n =k
hay 4k+15k−1 chia hết 9
--- CM bài toán cũng đúng với n=k+1

xét 4k+1+15(k+1)−1

=4.4k+4.15k−4−3.15k+18

=4(4k+15k−1)−9(5k+2)

do 4k+15k−1 chia hết 9 và 9(5k+2) chia hết cho 9

=> 4(4k+15k−1)−9(5k+2) chia hết 9

=> cm đc với n=k+1

vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.

vì néu n lẻ thì n+1 chẵn mà lẻ nhân chẵn bằng chẵn chia hết cho 2 mà nếu n chẵn thì n+1 lẻ mà chẵn nhân lẻ bằng lẻ nên n(n+1) chia hết cho 2

ĐÂY KHÔNG PHẢI TOÁN LỚP 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!....

n(n+1)  xét x thuộc N => x là số chẵn hoặc số lẻ

nếu n là số chẵn thì n+1 là số lẻ chẳn nhân lẻ chia hết cho 2

nếu n là số lẻ thì n+1 là số chẵn mà lẻ nhân chẵn = chẵn chia hết cho 2 

Với \(n=1\Rightarrow10-4+3=9⋮9\) (đúng)

Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(10^k-4^k+3k⋮9\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay:

\(10^{k+1}-4^{k+1}+3\left(k+1\right)⋮9\)

Thật vậy:

\(10^{k+1}-4^{k+1}+3\left(k+1\right)=10.10^k-4.4^k+3k+3\)

\(=\left(10^k-4^k+3k\right)+9.10^k-3.\left(4^k-1\right)\)

Do \(4\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow4^k-1⋮3\Rightarrow3\left(4^k-1\right)⋮9\)

\(\Rightarrow\left(10^k-4^k+3k\right)+9.10^k-3\left(4^k-1\right)⋮9\) (đpcm)

Xét n=0 => 6²ⁿ⁺¹ + 5ⁿ⁺² = 31chia hết 31
Xét n=1 => 6²ⁿ⁺¹ + 5ⁿ⁺² = 341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 6^2k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 6^2k+3 + 5^k+3
Ta có 6^2k+1 + 5^k+2 = 36^k.6+5^k.25 chia hết 31
<=> 6^2k+3 + 5^k+3 = 36^k.216+5^k.125
Xét hiệu : 6^2k+3 + 5^k+3 − 6^2k+1 − 5^k+2 = 36^k.216+5^k.125−36^k.6−5^k.25
= 36^k.210+5^k.100 = 36^k.207+5^k.93−7(36^k−5^k)
Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36^k−5^k chia hết 36 - 5 = 31
=> 6²ⁿ⁺³ + 5^k+3 − 6^2k+1 − 5^k+2 chia hết 31.

Mà 6^2k+1 + 5^k+2 chia hết 31 nên 6^2k+3 + 5^k+3 chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm 

Mình dùng đồng dư được không bạn

thiếu điều kiện n \(\in\) N          

bài này áp dụng phương pháp quy nạp 2 lần. 
................................. 
chọn n=1 => 10+18-1=27 chia hết cho 27 (luôn đúng) 
giả sử với mọi n=k (k thuộc N*) thì ta luôn có 10^k+18k-1 chia hết cho 27. 
Cần chứng minh với n=k+1 thì 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27. 
Ta có 10^(k+1)+18(k+1)-1= 10*10^k+18k+18-1 
= (10^k+18k-1)+9*10^k+18 
= (10^k+18k-1)+9(10^k+2) 
ta có: (10^k+18k-1) chia hết cho 27 => 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 khi và chỉ khi 9(10^k+2) chia hết cho 27. 

Chứng minh 9(10^k+2) chia hết cho 27. 
chọn k=1 => 9(10+2)=108 chia hết cho 27(luôn đúng) 
giả sử k=m(với m thuộc N*) ta luôn có 9(10^m+2) chia hết cho 27. 
ta cần chứng minh với mọi k= m+1 ta có 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27. 
thật vậy ta có: 9(10^(m+1)+2)= 9( 10*10^m+2)= 9( 10^m+9*10^m+2) 
= 9(10^m+2) +81*10^m 
ta có 9(10^m+2) chia hết cho 27 và 81*10^m chia hết cho 27 => 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27 
=>9(10^k+2) chia hết cho 27 
=>10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 
=>10^n+18n-1 chia hết cho 27=> đpcm