Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 > 1 và log a 2 + b 2 a + b ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a + 4b – 3 là
A. 2 10
B. 10
C. 10 2
D. 1 10
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b là các số thực thỏa mãn log 2 . log 2 a - log b = 2 . Hỏi a,b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. a = 100b
B. a = 100 - b
C. a = =100 + b
D. a = 100 b
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn log 2 a + log 2 b = 0.
SGK Cánh Diều
13 tháng 8 2023 lúc 21:10
Đề bài
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({a^3}{b^2} = 100\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 3\log a + 2\log b\)
\(P=loga^3+logb^2=log\left(a^3b^2\right)=log\left(100\right)=10\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b^2=2ab^2\) . Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^8+2a^2b^2}\) ≥ \(\dfrac{1}{2}\)
Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)
\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)
\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)
Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)
\(\Rightarrow ax\ge1\)
Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đúng 2
Bình luận (0)
a, Chứng minh bất đẳng thức a2+b2+2 ≥ 2(a+b)
b,Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x^2+y^2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x+y
c, Cho a,b > 0 và a+b = 1. Tìm GTNN của S=\(\dfrac{1}{ab}\)+1/a2+b2
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 3
Bình luận (0)
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2+a}\)+\(\dfrac{1}{2+b}\)+\(\dfrac{1}{2+c}\)≤ 1
\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)
Điều này đúng do:
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
Đúng 1
Bình luận (1)
Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện a b 1 và
1
log
a
b
+
1
log
b
a
2018
Giá trị của biểu thức
P
1...
Đọc tiếp
Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện a > b > 1 và 1 log a b + 1 log b a = 2018
Giá trị của biểu thức P = 1 log ab b - 1 log ab a bằng
A . P = 2014 .
B . P = 2016 .
C . P = 2018 .
D . P = 2020 .
Chọn A.
Ta có:
1 log a b - 1 log b a = 2018 ⇔ log a b + 1 log a b = 2018 ⇔ t + 1 t = 2018
P = 1 log ab b - 1 log ab a = log b ab - log a ab = log b a - log a b = 1 log a b - log a b = 1 t - t
Mà ( t + 1 t ) 2 - ( 1 t - t ) 2 = 4 suy ra
P = 1 t - t = ( t + 1 t ) 2 - 4 = 2018 - 4 = 2014 .
Đúng 0
Bình luận (0)
cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện: a^2-b=b^2-c=c^2-a. CMR: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1
Ta có: \(a^2-b=b^2-c\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)
Tương tự CM được: \(b+c=\frac{c-a}{b-c}\) và \(c+a=\frac{a-b}{c-a}\)
Khi đó:
\(\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)
\(=\left(\frac{a-b}{c-a}+1\right)\left(\frac{c-a}{b-c}+1\right)\left(\frac{b-c}{a-b}+1\right)\)
\(=\frac{c-b}{c-a}\cdot\frac{b-a}{b-c}\cdot\frac{a-c}{a-b}=-1\)
cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện: a^2-b=b^2-c=c^2-a. CMR: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1
Vì a2 - b = b2 - c = c2 - a
Ta có a2 - b = b2 - c
=> (a - b)(a + b) = b - c
=> a + b + 1 = \(\frac{a-c}{a-b}\)
Tương tự ta có : b + c + 1 = \(\frac{b-a}{b-c}\)
a + c + 1 =\(\frac{b-c}{a-c}\)
Khi đó (a + b + 1)(b + c + 1)(a + c + 1) = \(\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{b-c}{a-c}=-1\)(đpcm)
cho các số thực a,b,c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện: a^2-b=b^2-c=c^2-a. CMR: (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1
Ta có:\(a^2-b=b^2-c\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\)
\(\Leftrightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+1=\frac{b-c}{a-b}+1\)
\(\Leftrightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}\)
Cmtt ta có:
\(\hept{\begin{cases}b^2-c=c^2-a\Leftrightarrow b+c+1=\frac{b-a}{b-c}\\c^2-a=a^2-b\Leftrightarrow c+a+1=\frac{c-b}{c-a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)=\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-c}{b-a}.\frac{c-b}{c-a}=-1\)
Cre:mạng