Cho a,b,c,d thuộc N khác 0 và
M=\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
CMR 1<M<2
Cho M=\(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}\)
(a,b,c,d thuộc N*)
cmr m thuộc Z (2<A<3)
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)với a,b,c,d khác 0,a khác b , c khác d . CMR \(\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
Cho tỉ lệ thức \(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}\)trong đó b khác 0 . CMR c = 0
MAI MÌNH NỘP RỒI GIÚP MÌNH VỚI
a, Cho a,b>0 , CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
b. Cho a,b,c,d > 0. CMR: \(\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\ge0\)
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
b)Cho a,b,c,d là các số khác 0 và (a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
Cmr:\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
(a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
<=>(a+b)(a-b)-(c+d)(c-d)=(a-b)(a+b)-(c-d)(c+d) ---- Đẳng thức đúng vs mọi a,b,c,d
Xem lại đề
Bài 1 : Cho 4 số a , b ,c khác 0 thỏa mãn \(^2=ac;c^2=bd;b^3+c^3+d^3\ne0\)
CMR : \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
Bài 2 : Cho a , b , c , d > 0 . CMR :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
Bài 1:
Chúc bạn học tốt!
Các bạn giúp mình nhé : Bạn Vũ Minh Tuấn , Nguyễn Việt Lâm , Nguyễn Văn Đạt , Băng Băng 2k6 và thầy Akai Haruma , Phynit và tất cả các bạn khác vào giúp mình với ạ !!!
Bài 2:
CM vế thứ nhất:
Với $a,b,c,d>0$:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\\ \frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\\ \frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\\ \frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
CM vế thứ 2:
Xét hiệu \(\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{a(a+b+c+d)-(a+d)(a+b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0\) với mọi $a,b,c,d>0$
\(\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{b+c+d+a}; \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}; \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d+b+a+c+b+d+c}{a+b+c+d}=\frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2\)
Ta có đpcm.
cho a, b, c, d khác 0,c+d=1 và \(\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=\frac{1}{ac+bd}\)
CMR a=b
Cho 2 số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{c}{d}\)(a,b,c,d thuộc Z ; b khác 0 ; d khác 0). Chứng tỏ rằng: Nếu \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b}\) <\(\frac{a+c}{b+d}\)<\(\frac{c}{d}\)
( Sử dụng: Cho 2 số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)[a,b,c,d thuộc Z ; b khác 0; d khác 0] ta có: \(\frac{a}{b}\) >\(\frac{c}{d}\)<=> ad>bc
2)Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
CMR : \(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}\)với a + c khác 0 , b + d khác 0
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
\(VT=\frac{a}{a+c}=\frac{bk}{bk+dk}=\frac{bk}{k\cdot\left(b+d\right)}=\frac{b}{b+d}\)
\(\Rightarrow VT=VT\)
Hay \(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}\left(đpcm\right)\)
đặta/b=c/d=k.
ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow c=ak,d=bk\)
thay vào đẳng thức ,ta có:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{a}{a+ak}=\frac{a}{a\left(1+k\right)}=\frac{1}{1+k}\)(1)
\(\frac{b}{b+d}=\frac{b}{b+bk}=\frac{b}{b\left(1+k\right)}=\frac{1}{1+k}\)(2)
từ 1 và 2 suy ra:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}\)(đpcm)
cho a+b+c+d khác 0 và \(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\)
tìm giá trị của :\(A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\)\(\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1+\frac{a}{b+c+d}=1+\frac{b}{a+c+d}=1+\frac{c}{a+b+d}=1+\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Mà: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{a+a}{a+a}+\frac{b+b}{b+b}+\frac{c+c}{c+c}+\frac{d+d}{d+d}\)
\(\Rightarrow A=1+1+1+1=4\)
số đo slaf
4
nhe sbn
bài dài
lắm mình
vhir tiện ghi
thế này thôi
\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1+\frac{a}{b+c+d}=1+\frac{b}{a+c+d}=1+\frac{c}{a+b+d}=1+\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Mà :\(a+b+c+d=0\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{a+a}{a+a}+\frac{b+b}{b+b}+\frac{c+c}{c+c}+\frac{d+d}{d+d}\)
\(\Rightarrow A=1+1+1+1=4\)