n^3+11n
=n^3-n+12n
=(n-1)n(n+1)+12n
chia hết cho 6 với mọi n € Z

Ta có \(n^3+11n\)=\(n^3-n+12n\)

\(=n(n^2-1)+12n\)

\(=(n-1)(n+1)n+12n\)

Vì n là số nguyên nên \((n-1)(n+1)n\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 6;mà 12 lại chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)12n cũng chia hết cho 6.

\(\Rightarrow\)\((n-1)(n+1)n+12n\) chia hết cho 6

Vậy \(n^3+11n\) chia hết cho 6 (đpcm)

Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

         = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

         = U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ Uk + 1 ⋮ 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

n^3+11n chia hết cho 6

n^3+11n=n^3-n+12n

=(n-1)n(n+1)+12n

vậy n^3+11n luôn chia hết cho 6, với mọi n

* Với n =1  ta có 1 3 + 11.1 = 12  chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì k 3   + 11 k chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1  thì ( k + 1 ) 3 + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

k + 1 3 + 11 k + 1 = k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 + 11 k + 11 = ( k 3 + 11 k ) + 3 k ( k + 1 ) + 12   *

Ta có; k 3 +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự  nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2  ⇒ 3 k ( k + 1 ) ⋮ 6

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).

Ta có: n³+11n

= n³-n+12n

= n(n²-1)+12n

=(n-1)(n+1)n+12n

Vì n-1, n, n+1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 6.

Mà 12n chia hết cho 6

=>n³+11n chia hết cho 6

ta co:n^3+11n

=n^3-n+12n

=n(n^2-1)+12n

=(n-1)(n+1)n+12n

=n^3-n+12n

=n(n^2-1)+12n

=(n-1)N+1)

n³ + 11n = n³ - n + 12n = n(n² - 1) + 12n

= n(n-1)(n+1) + 12n

Vì n; n-1; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp ( do n là STN )

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 (1)

Vì 12 chia hết cho 6 nên 12n chia hết cho 6 (2)

Từ (1) và (2) => n(n-1)(n+1) + 12n chia hết cho 6

=> n³ + 11n chia hết cho 6

1) \(n^3+11n=n^3-n+12n=n\left(n^2-1\right)+12n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+12n\)

Có \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6;12n⋮6\)

\(\Rightarrow n^3+11n⋮6\)

2)\(n^3-19n=n^3-n-18n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n\)

\(Có\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6;18n⋮6\)

\(\Rightarrow n^3-19n⋮6\)

1)Ta có: n^3 + 11n

= n^3 +n^2 -n^2 -n+12n

= n^2(n+1) -n(n+1) +12n

= (n+1)(n^2-n) +12n

= (n+1)n(n-1) +12n

Vì (n+1)n(n-1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên

(n+1)n(n-1) chia hết cho 6

12n chia hết cho 6 với mọi n

=> n^3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n

Ta có: n^3 -19n

= n^3 -n -18n

= n(n^2-1) -18n

= (n-1)n(n+1) -18n

(n-1)n(n+1) chia hết cho 6

-18n chia hết cho 6

=> n^3 -19n chia hết cho 6

\(31n^3+11n\)

\(=25n^3+6n^3+5n+6n\)

\(=5n\left(5n^2+1\right)+6n\left(n^2+1\right)\)

Do \(5n^2⋮5\Rightarrow5n^2+1⋮6\)

Lại có \(6n\left(n^2+1\right)⋮6\)

\(\RightarrowĐPCM\)

ta có: A= \(n^3-6n^2+11n-6\)

<=>A=\(n^3-n^2-5n^2+5n+6n-6\)

<=>A=\(n^2\left(n-1\right)-5n\left(n-1\right)+6\left(n-1\right)\)

<=>A=\(\left(n^2-5n+6\right)\left(n-1\right)\)

<=>A=\(\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\)

Mặt khác: (n-1) ; (n-2) ; (n-3) là 3 số liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\) là tích của 3 số liên tiếp => có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3. mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên A chia hét cho (2.3)=6

​N^3+11n=n^3-n+12n

=n(n^2-1)+12n

=(n-1)n (n+1) +12n

Vì n là số tự nhiên nên => (n-1)n (n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 6

12 chia hết cho 6 nên 12n chia hết cho 6

=> (n-1)n (n+1)+12n chia hết cho 6

=> n^+11n chia hết cho 6