*Tìm min:

\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)

\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)

\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3

*Tìm max: \(a,b\ge0\)

\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)

\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)

Vậy maxP=1

Ta có :  \(\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+a-a^2}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}-\frac{a^2}{a+1}=a-\frac{a^2}{a+1}\)

Tương tự và cộng theo vế ta được : \(P=a+b+c-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)

\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\ge1-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Vậy GTNN của P = 3/4 đạt được khi a=b=c=1/3

\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}2\sqrt{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a+1}\right)}\)

\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\left(1-\frac{1}{a+1}\right)\right]=\frac{15}{4}-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

\(\le\frac{15}{4}-\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác:

\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{a.\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}\)

\(\le\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{1\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}.\Sigma_{cyc}\left(1+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

A= x/y+1 +y/x+1=[x^2+x+y^2+y]/[x+1]/[y+1]

A=[[x+y]^2]-2xy+[x+y]]/[xy+x+y+1],thay x+y=1

A=[2-2xy]/[2+xy]

Ta có x^2+y^2 lớn hơn hoặc=2xy suy ra x^2+ Y^2+2xy lớn hơn hoặc= 4xy suy ra xy bé hơn hặc=1/4

A=[2-2xy]/[2+2xy]=[-4-2xy+6]/[2+xy]=[-2+6]/2+xy

Chưa xong

 Xy lớn hơn hoặc =0 có 0 bé hơn hoặc =xy be hơn hoặc = 1/4 khi và chỉ khi 4/9 bé hơn hặc =1/[2+xy] bé hơn hoặc =1/2

khi và chỉ khi -2+6*4/9 hé hơn hoặc=A bé hơn hoặc=1

Min A=2/3 khi xy=1/4 suy ra x=1/2.y=1/2

Max A=1 đạt khi xy=1,x=0,y=1 và ngược lại

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\ge\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\), chẳng hạn \(c=0,a=-b=\sqrt{\frac{1}{2}}\). 

Ta có : \(1\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1+2\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(< =>ab+bc+ca\le1\)

Dấu "=" tự tìm nhaaaaa

Câu hỏi hơi xàm

Do a;b;c không âm \(\Rightarrow\frac{a}{a+1}\ge0\) ; \(\frac{b}{b+1}\ge0\); \(\frac{c}{c+1}\ge0\)

\(\Rightarrow T\ge0\)

\(T_{min}=0\) khi \(a=b=c=0\)