a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)

\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)

\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)

\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)

\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn

b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ

A=(n^2-9)(n^2-1)

=(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)

=(2k+1-3)(2k+1+3)(2k+1-1)(2k+1+1)

=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)

=16k(k+1)(k-1)(k+2)

Vì k;k+1;k-1;k+2là 4 số liên tiếp

nen k(k-1)(k+1)(k+2) chia hết cho 4!=24

=>A chia hết cho 384

\(a,n^3+6n^2+8n\)

\(=n\left(n^2+6n+8\right)\)

\(=n\left(n^2+4n+2n+8\right)\)

\(=n\left[\left(n^2+4n\right)+\left(2n+8\right)\right]\)

\(=n\left[n\left(n+4\right)+2\left(n+4\right)\right]\)

\(=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)

Vì n chẵn ,đây là tích của ba số chẵn liên tiếp => chia hết cho 48

b, tương tự a

Câu hỏi của Cỏ dại - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Đặt A = n^4 - 10n^2 + 9

 = (n^4-n^2)-(9n^2-9) = (n^2-1).(n^2-9)

=(n-1).(n+1).(n-3).(n+3)

Vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 (k thuộc Z)

Khi đó A = 2k.(2k+2).(2k-2).(2k+4)

= 16.k.(k+1).(k-1).(k+2)

Ta thấy k-1;k;k+1;k+2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3

=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 3 và 8

=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 24 [vì(3;8)=1]

=>A chia hết cho 16.24 = 384 => ĐPCM

n lẻ=>n=2k+1

Thay vào ta có n⁴-10n²+9=(2k+1)⁴+10(2k+1)²+9

=(4k²+4k+1)(4k²+4k+1)-40k²-40k-10+9

=16k⁴+32k³+24k²+8k+1-40k²-40k-1

=16k⁴+32k³-16k²-32k

=16k(k³+2k²-k-2)

=16k(k²(k+2)-(k+2))

=16k(k²-1)(k+2)

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)

ta có (k-1),k,(k+1),(k+2) là 4 số tự nhiên liên tiếp 

=>(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết cho 24

=>16(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết 384

  Vậy...

Đặt A = n⁴ - 10n² + 9

= ( n⁴ - n² ) - ( 9n^{2 - 9} ) = ( n^{2 - 1} ) . ( n² - 9 )

= ( n - 1 ) . ( n + 1 ) . ( n - 3 ) . ( n + 3 )

Vì n là số lẻ nên n có dạng 2k + 1 ( k thuộc Z )

Khi đó A = 2k . ( 2k + 2 ) . ( 2k - 2 ) . ( 2k + 4 )

= 16 . k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 )

Ta thấy k - 1 ; k + 1 ; k + 2 là 4 số nguyên tố liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 ) chia hết cho 3 và 8

\(\Rightarrow\)k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 ) chia hết cho 24 vì [  BC ( 3 ; 8 ) = 1 ]

\(\Rightarrow\)a \(⋮\)\(16.24=383\RightarrowĐPCM\)

Tiếp theo bài giải của bạn Nguyễn Thanh Hằng

\(2n+1⋮d\\ \Rightarrow5n\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow10n^2+5n⋮d\Rightarrow\left(10n^2+9n+4\right)-\left(10n^2+5n\right)⋮d\\ \Rightarrow4n+4⋮d\Rightarrow4.\left(n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow n+1⋮d\)

Vì d lẻ do 2n+1 chia hết cho d

\(\Rightarrow2n+2⋮d\\ \Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow1⋮\left(đpcm\right)\)

Gọi \(d=ƯCLN\left(10n^2+9n+4;20n^2+20n+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10n^2+9n+4⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n^2+18n+8⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2n+1⋮d\)

đên đây thì bí

Đặt A=n^4 -10n^2+9=(n^4-n^2)-(9n^2-9)=(n^2-1)(n^2-9)=(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)

Vì n lẻ nên đặt n=2k+1(k thuộc Z)

A=(2k-2).2k.(2k+2).(2k+4)=16.(k-1).k.(k+1).(k+2)->A chia hết cho 16 <1>

Mà (k-1).k.(k+10.(k+2) là tích của 4 số nguyên tố liên  tiếp nên A  là B(24) hay A chia hết cho 24<2>

Từ <1> và <2>suy ra A chia hết cho 384 vì 16.24=384

Vậy ...

k nha